布爾戈斯大教堂辛波里奧的八角形幾何圖案

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本文對(duì)布爾戈斯大教堂中以科爾多瓦比例為特色的元素進(jìn)行了幾何分析。它以非凡的比例為基礎(chǔ)，通過玫瑰花形和超立方體，激發(fā)了數(shù)學(xué)和裝飾方面的創(chuàng)造力。

簡(jiǎn)介

布爾戈斯是西班牙卡斯蒂利亞和萊昂地區(qū)的一座城市（圖 2）。其大教堂造型獨(dú)特的尖塔和莊嚴(yán)的塔樓是西班牙哥特式藝術(shù)最精美的成就之一（圖 1）。布爾戈斯大教堂被聯(lián)合國(guó)教科文組織宣布為世界文化遺產(chǎn)[Rico Santamaria 1985]。

圖1：布爾戈斯大教堂

圖2：西班牙卡斯蒂利亞·萊昂（灰色）

阿方索六世建造了這座名為圣瑪麗亞（Santa María）的11世紀(jì)羅馬式大教堂（始于 1075 年，竣工于1096年），西班牙著名貴族和軍事領(lǐng)袖羅德里戈·迪亞斯·德·維瓦爾（Rodrigo Díaz de Vivar，人稱 Cid Campeador）就是在這座教堂流亡的。西班牙史詩《Cantar del Mío Cid》講述了這一歷史事件和這位卡斯蒂利亞騎士的英雄事跡，將中世紀(jì)西班牙基督教王國(guó)與阿拉伯人之間的戰(zhàn)爭(zhēng)歷史與傳說融為一體。

現(xiàn)在的大教堂是國(guó)王、主教、建筑師、雕刻師、工匠、大理石工人、鐵匠等集體努力和干預(yù)的結(jié)果。13世紀(jì)初，許多因素推動(dòng)了新大教堂的建設(shè)：歷史的活力、城市的支持、布爾戈斯鎮(zhèn)在卡米諾·德·圣地亞哥的戰(zhàn)略地位，以及主要是主教毛里西奧的任命，他是一位深受國(guó)王費(fèi)迪南德三世信任的德高望重的人。在游歷了法國(guó)和德國(guó)之后，這位主教敦促斐迪南國(guó)王建造一座巨大而莊嚴(yán)的新大教堂。1221年7月20日，新大教堂奠基。

布爾戈斯大教堂的建筑方案受到了法國(guó)哥特式設(shè)計(jì)的影響，15世紀(jì)后，還受到了德國(guó)藝術(shù)靈感的影響。它的建筑經(jīng)歷了許多階段和風(fēng)格：從古典哥特式（從1221年到14世紀(jì)上半葉）到晚期哥特式（從14世紀(jì)下半葉到16世紀(jì)上半葉）。文藝復(fù)興和巴洛克風(fēng)格的一些元素也存在，但它們不那么突出。

幾何圖案

大教堂的一些重要元素都是在第二階段建造的：八角形尖塔、八角形康德斯特伯格禮拜堂（中世紀(jì)時(shí)，康德斯特伯格是軍事職業(yè)中的最高級(jí)別），以及當(dāng)時(shí)最重要的建筑——哥特裝飾華麗風(fēng)格的八角形塔樓，又稱辛博里奧（cimborio）。這座塔樓是大教堂中最高的塔樓，與中廳的燈籠相對(duì)應(yīng)，呈八角棱形，內(nèi)含一個(gè)正方形棱柱，棱柱的頂點(diǎn)上有四個(gè)塔樓。在八角棱柱的頂點(diǎn)上還聳立著八個(gè)較小的塔樓。八角形塔樓位于中殿的十字路口處，那里是Cid Campeador的墳?zāi)顾凇?/p>

從通向大教堂中廳的薩門塔爾立面的大門進(jìn)入，可以更清楚地看到辛博里奧的幾何形狀。然后，就可以從內(nèi)部看到塔樓的全貌。它是一個(gè)八角棱柱，由四個(gè)大圓柱支撐（圖3）。中間有一個(gè)設(shè)計(jì)精巧的花環(huán)（圖4）。

圖3：拱頂

圖4：逆光圖案（左）；玫瑰花形的幾何圖案（右）

建造第一座塔樓的倡議來自路易斯·德·阿庫尼亞主教，他在1460年提出了為中隔建造燈籠的想法。建筑大師是胡安·德·科隆尼亞（Juan de Colonia），他將當(dāng)時(shí)德國(guó)的建筑趨勢(shì)和方法融入其中。

1481年，胡安去世，他的兒子西蒙·德·科洛尼亞（Simon de Colonia）繼續(xù)這項(xiàng)工程，并于1489年完成了塔樓的建造。不過，現(xiàn)在的辛博里奧塔與原來的塔并不一樣。卡斯蒂利亞高原上的平原冬季氣候惡劣，尤其是降雪和大風(fēng)。積雪增加了塔的重量，從而使其重心失衡。這些情況導(dǎo)致它在1539年倒塌。

建筑師胡安·德·巴列霍（Juan de Vallejo）于1544年接管了修復(fù)工作，但他可能得到了西蒙（Simon）之子弗朗西斯科-德-科洛尼亞（Francisco de Colonia）的幫助，后者于 1542 年去世。德·巴列霍修復(fù)了塔樓，給柱子涂了一層涂料，并加大了底座的面積。這樣他就降低了塔的細(xì)長(zhǎng)度，即高度與地面支撐面之間的比例。塔樓于1573年完工，但在1642年，一場(chǎng)狂暴的颶風(fēng)摧毀了辛博里奧的八個(gè)外塔，并嚴(yán)重?fù)p壞了周圍的穹頂。1644年的一場(chǎng)大火也中斷了修復(fù)工作。

最后，在1981年，另一場(chǎng)肆虐的暴風(fēng)雨摧毀了穹頂?shù)囊恍┘忭敽脱b飾物。20世紀(jì)80年代修復(fù)大教堂的建筑師馬科斯-里科-桑塔瑪麗亞還減輕了覆蓋層的重量，從而稍微降低了重心，保證了穹頂?shù)姆€(wěn)定性。這位建筑師認(rèn)為，“辛博里奧大教堂是另一座大教堂之上的一座大教堂”[Rico Santamaria 1985]。

塔的拱頂由越來越小的凸八邊形組成，最后形成一個(gè)八角星形多邊形。它將用“8/3”來表示，以指出它是由連接八邊形八個(gè)規(guī)則間隔頂點(diǎn)中每三個(gè)點(diǎn)的直線構(gòu)成的圖形。另一顆星8/3的點(diǎn)出現(xiàn)在多邊形的凹頂點(diǎn)上。最后一顆星的八個(gè)凹頂點(diǎn)可以用線段連接起來，形成一個(gè)八臂十字（見圖 4）。

在拱頂上的兩顆主星之外，還有各種三角形、梯形和相連的正方形，形成一個(gè)覆蓋拱頂?shù)母駯拧ＰA圈上雕刻著三葉形和希臘十字（見圖 5）。

圖5：拱頂?shù)募?xì)節(jié)。

數(shù)學(xué)解釋

正八邊形的一個(gè)顯著比例是用正八邊形的第二條對(duì)角線除以正八邊形的邊長(zhǎng)（圖 6），得到 1+√2 或"白銀"比例或數(shù)字，這里用θ表示（見 [Kappraff 1996] 和 [Spinadel 1998]）。第二種比例是用八邊形的半徑除以邊長(zhǎng)（圖 7），得出 (√(2-√2))^-1，用c表示（見 [Redondo Buitrago 和 Reyes 2008a、2008b、2009]）。該比例被稱為"科爾多瓦比例"，因?yàn)樗怯晌靼嘌澜ㄖ熇碃枴さ吕せ羝潯ぐ⒌吕餅跛梗ㄒ?[Hoz 1976]）提出的，他對(duì)西班牙城市科爾多瓦的建筑進(jìn)行了研究。θ和c的關(guān)系為c=√((1+θ )/2)或θ=√2c^2。

圖6：白銀矩形

圖7：科爾多瓦三角形

注意，第二個(gè)(大的)玫瑰花結(jié)與第一個(gè)(小的)相似，因?yàn)樗怯上嗨票萩√2=θ/c的中央膨脹產(chǎn)生的(圖8)。

圖8：利用反射和膨脹構(gòu)造拱頂

如果一個(gè)邊長(zhǎng)為θ/1的“銀色”矩形繞其中心旋轉(zhuǎn)45度，將得到一個(gè)內(nèi)接于八邊形的8/3星形多邊形以及一個(gè)內(nèi)八邊形（圖9）。

圖9：旋轉(zhuǎn)銀色矩形

AB/CD之比就是白銀比例θ。科爾多瓦三角形的兩條相等邊的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生了同樣的星形8/3（圖10）。

圖10：旋轉(zhuǎn)科爾多瓦三角形

8/2 星形是用直線連接八邊形八個(gè)間隔規(guī)則的頂點(diǎn)的每第二個(gè)點(diǎn)而形成的圖形。在圖 11 中，這個(gè) 8/2 星用紅色繪制，刻在一個(gè)綠色八邊形上。綠色八邊形位于兩個(gè)藍(lán)色八邊形之間，兩個(gè)藍(lán)色八邊形的邊構(gòu)成了一個(gè)幾何序列，其比例為 θ/c。

圖11：欽博里奧和嵌套八邊形中的8/2號(hào)星。

屋頂上還有兩個(gè)嵌套的正方形，嵌在由一個(gè)科爾多瓦三角形和一個(gè)等腰直角三角形拼成的四邊形中。這說明了一個(gè)幾何性質(zhì)：

給定由一個(gè)科爾多瓦三角形 PQR 和一個(gè)等腰直角三角形 QRS 結(jié)合而成的四邊形 PQSR，公共邊 QR 將正方形 ABCD 分成一個(gè) √2 矩形和 一個(gè)1+θ=2c^2 矩形。兩塊的面積之比等于 θ（圖 12）。

圖12：四邊形細(xì)節(jié)的比例。

當(dāng)放置一個(gè)正方形，使其三個(gè)且只有三個(gè)頂點(diǎn)與科爾多瓦三角形ABC相交時(shí)，會(huì)得到另一個(gè)有趣的形狀：繞其外心O旋轉(zhuǎn)七次45°會(huì)產(chǎn)生一個(gè)類似星形網(wǎng)格的圖案(圖13)。它分裂成一個(gè)玫瑰花結(jié)和一系列四個(gè)嵌套的8/2星(圖14)。

圖13：星形網(wǎng)格的生成器

圖14：星星的網(wǎng)格及其細(xì)分

將橙色和藍(lán)色的星星放在花環(huán)的頂部，彩色玻璃裝飾元素的最小方格被鎖定在它們之間（圖 15）。外圍的兩顆綠色和橙色星星構(gòu)成了比例為√2/2的幾何收縮，而內(nèi)部的兩顆藍(lán)色和紫色星星則不屬于這個(gè)序列（圖 16）。

圖15：拱頂?shù)难b飾元素

圖16：收縮星星

藍(lán)星的頂點(diǎn)H將線段BJ分成三個(gè)線段BH、HI和IJ，使得BH=IJ和BJ/HI=θ，因?yàn)锽J和HI分別是橙色八邊形的第二條對(duì)角線和邊，其長(zhǎng)度與θ之比(圖17)。當(dāng)我們考慮半徑AD和點(diǎn)B和c時(shí)，紫色的星起著類似的作用。這是泰勒斯的“截距”定理的直接結(jié)果，因?yàn)锳F/FG=θ(圖18)。

圖17：藍(lán)星和θ

圖18：紫星和θ

通過添加更多的方格（見圖 19 和 20），可以擴(kuò)展科爾多瓦三角形的剖面，從而在一個(gè)超立方體中嵌入一個(gè)玫瑰花環(huán)，在玫瑰花環(huán)中嵌入一個(gè)超立方體，以此類推。圖21顯示了圖案的分形特征。

圖19：花環(huán)上的梯形和三角形

圖20：科爾多瓦三角形的分形剖面圖

圖21：嵌套花環(huán)和超正方體

參考文獻(xiàn)

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