凱爾特回紋圖案的遞歸結(jié)構(gòu)

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

1. 凱爾特回紋圖案

在公元前10世紀(jì)后半期，即盎格魯·撒克遜和維京時(shí)期，在不列顛群島創(chuàng)作的手稿和石碑中，所謂的凱爾特回紋紋樣與更廣為人知的交錯(cuò)紋樣一樣常見。羅米利·艾倫（Romilly Allen）[2]對(duì)這些圖案的分類仍然是考古學(xué)家的標(biāo)準(zhǔn)，自從相關(guān)章節(jié)再版后[6]，這種分類變得更容易獲取，而且提供了很多有用的分析，但所有這些圖案分類嘗試都有一個(gè)固有的問(wèn)題，那就是如何確定哪些是基本圖案，哪些只是變體。交錯(cuò)圖案的情況更糟，因?yàn)橥ǔＳ性S多方法來(lái)選擇基本單位，而且有人提出了替代羅米利·艾倫嘗試的方法[9]。彼得·克倫威爾（Peter Cromwell）在他最近基于繩結(jié)類型的調(diào)查[10]中避免了這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)樗鼉H限于小繩結(jié)。有時(shí)，對(duì)回紋圖案進(jìn)行更直接的分類可能會(huì)掩蓋在數(shù)學(xué)上更重要的特性。

雖然只有幾種基本結(jié)構(gòu)，但現(xiàn)存的凱爾特回紋圖案顯示出相當(dāng)大的差異。最有特色的結(jié)構(gòu)之一是以Z形圖案為基礎(chǔ)，其最基本的形式如圖1所示（Romilly Allen [2]），它出現(xiàn)在林迪斯芳福音書和蘇格蘭的幾個(gè)石質(zhì)十字架上。其他的變體是在Z形的角上連接螺旋線而不是單條直線，還有許多其他的變體，如裝飾圖案主體的一對(duì)三角形。

圖1：一種常見的凱爾特回紋圖案。

本文所討論的回紋圖案屬于一個(gè)特殊的群體，其成員通?？淘诜礁裰?，這些方格或單獨(dú)出現(xiàn)，或單行重復(fù)出現(xiàn)，或拼成一個(gè)表面圖案。圖 2(a)顯示的是羅米利·艾倫的第995號(hào)作品[2]，該作品在不列顛群島隨處可見，同時(shí)還有一個(gè)來(lái)自麥克杜南福音書（Gospels of MacDurnan）的簡(jiǎn)單變體（第 997 號(hào)）。

圖2：(a)另一種常見的凱爾特調(diào)式（羅米利·艾倫的第 995 號(hào)），(b) 一種簡(jiǎn)單的變體（羅米利·艾倫的第997號(hào)[2]）。

圖3顯示的是在威爾士安格爾西Penmon Priory教堂的一個(gè)字體左側(cè)發(fā)現(xiàn)的圖案[1]，該字體據(jù)信最初是一個(gè)十字底座，可追溯到10世紀(jì)末至11世紀(jì)初。這是羅米利·艾倫分類中的第 1001號(hào)[2]，他認(rèn)為它是第995號(hào)的四個(gè)副本（圖 2），中間部分做了一些修改。

圖3：Romilly Allen從他的995號(hào)作品中得出的具有自相似性的凱爾特回紋圖案(圖2(a))。

2.底層結(jié)構(gòu)

像這一時(shí)期的許多與世隔絕的藝術(shù)一樣，這種圖案似乎是為了以其錯(cuò)綜復(fù)雜來(lái)制造炫目效果。給人的直接印象是許多指向不同方向的箭頭，盡管正如羅米利·艾倫所觀察到的，這組中的所有圖案也可以被看作是由直角等腰三角形構(gòu)成的，這種洞察力將成為理解自相似性某些方面的回紋。仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)箭頭都是作為其他箭頭之間的空間產(chǎn)生的，感知在它們之間以一種典型的圖形/背景錯(cuò)覺的方式翻轉(zhuǎn)。許多眾所周知的分形曲線，如科赫的雪花(http://mathworld . wolfram . com/Koch snow flake . html)，都有相同的性質(zhì)：只給出曲線的一小部分，就無(wú)法判斷雪花的內(nèi)部是哪一面。這表明，這種特殊的回紋圖案比羅米利·艾倫的陳述分析所暗示的有更多的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并且可以從中推導(dǎo)出自相似分形。

事實(shí)上，取自Romilly Allen的結(jié)構(gòu)(圖4(a))的構(gòu)造基礎(chǔ)(對(duì)應(yīng)于泥瓦匠切割的凹槽)可以進(jìn)一步重復(fù)，如圖4(b)所示。這種排列與Mandelbrot的河流系統(tǒng)模型[15]相同，基于安東尼奧·塞薩羅的三角形掃描。

圖4：遞歸深度為(a) 2和(b) 3的基本構(gòu)造。

遞歸規(guī)則可以看作是科赫雪花曲線的變體，角度由 60 變?yōu)?90，同時(shí)縮短了一些線段，以避免產(chǎn)生類似正方形網(wǎng)格的圖形。單位長(zhǎng)度的直線被長(zhǎng)度為 ?，一個(gè) 90 度的轉(zhuǎn)折，一條長(zhǎng)度為 5? 的 "短 "線，它在自己身上翻了一倍，一個(gè) 90 度的轉(zhuǎn)折，一條長(zhǎng)度為 ? 的線所取代。實(shí)際上有兩個(gè)骨架（內(nèi)骨架和外骨架）。外骨架是將遞歸規(guī)則應(yīng)用于正方形的邊緣；內(nèi)骨架是將遞歸規(guī)則應(yīng)用于從正方形中心開始的四對(duì)前后短線（長(zhǎng)度 5?），比例系數(shù)為 1/√2。內(nèi)骨架的遞歸深度比外骨架少一個(gè)，因此在圖 4(a) 中，內(nèi)骨架的遞歸深度為 1。

3. 完成構(gòu)建

在骨架的兩端添加箭頭，就完成了圖案的構(gòu)建（圖 5）。外骨架和內(nèi)骨架上的箭頭是不同的，因?yàn)樗鼈冏裱氖蔷哂袃蓚€(gè)不同大小角度（45 和 90）的三角形的形狀。在數(shù)學(xué)確定的結(jié)構(gòu)中，需要仔細(xì)調(diào)整組成線段的長(zhǎng)度，以達(dá)到美觀的效果。

圖5：箭頭添加到圖4的基本框架中。

很明顯，我們?nèi)鄙倭艘恍〇|西，因?yàn)椴⒉皇敲總€(gè)箭頭之間的空隙都有另一個(gè)箭頭。內(nèi)骨架上的箭頭工作正常，每個(gè)空隙都由外骨架上的箭頭填補(bǔ)，但外骨架上的箭頭留下的空隙意味著內(nèi)骨架上有額外的箭頭。額外箭頭的空間不大，因此需要非常小。在內(nèi)層骨架中任何一條全長(zhǎng)直線的中點(diǎn)（遞歸中的每一步）添加一對(duì)箭頭，就完成了這個(gè)圖案。

外層骨架中的三個(gè)箭頭集群（圖6中的粗線）現(xiàn)在需要特殊處理，因?yàn)橛腥N不同類型的箭頭，所以不能全部用同樣的方法繪制，這樣當(dāng)然會(huì)產(chǎn)生形狀相同的箭頭。通常情況下，在遞歸的底層只畫一條線，但現(xiàn)在我們需要在遞歸的第一層畫一個(gè)完整的箭簇：中央箭頭較小，側(cè)面箭頭也不對(duì)稱。同樣，出于美觀的考慮，我們需要非常小心地調(diào)整幾條不同線段的相對(duì)長(zhǎng)度。圖6(a)顯示了遞歸到第2層的情況，再往前推進(jìn)一步（圖6(b)），表明原始的回紋圖形確實(shí)可以擴(kuò)展到更深的遞歸層。

圖6：遞歸生成的回紋圖案：(a) 第 2 級(jí)和 (b) 再上一級(jí)。

4. 箭頭的形狀

如前所述，這些圖案的基礎(chǔ)是將正方形分割成三角形，三角形內(nèi)填充直線螺旋線。由于等腰直角三角形可以被反復(fù)分割成更小的副本，因此可以遞歸地繪制這些圖案。由于三角形的邊緣與螺旋線平行，它們決定了箭頭的形狀。外骨架上的箭頭從斜邊開始平行于斜邊，因此一開始要轉(zhuǎn) 45 度；內(nèi)骨架上的箭頭從直角開始。小箭頭的進(jìn)一步增加需要更多的類型。如果所有箭頭的形狀都相同，那么自相似性就會(huì)更強(qiáng)。

有一種構(gòu)造也依賴于等腰直角三角形的特殊性質(zhì)，它可以生成一個(gè)以正確方式組合在一起的箭頭形狀。圖7是圖6左下角的一部分。ABCDE 是內(nèi)骨架的半個(gè)箭頭，WXYZ 是外骨架的半個(gè)箭頭。WA 是周圍小正方形的一條邊（例如，單位長(zhǎng)度），WX 是外骨架的一條“短”線，長(zhǎng)度為某個(gè)分?jǐn)?shù)，例如，f。AB是內(nèi)骨架的一條相應(yīng)的“短”線，長(zhǎng)度為√2f。BC 和 XY 也是相應(yīng)的線段，因此它們的比例也必須相同，即 √2:1。YC 在 45 .

圖7：兩個(gè)幾何相似箭頭的部分。

因?yàn)閄A=1-f，所以AB線和XY線之間的距離是(1-f )/√2。所以WX和CD的距離是(1-f )/2(因?yàn)橄嗨??，F(xiàn)在

于是

注意， Y 位于 DE 的延長(zhǎng)線上，而 BC 在正方形底面的上方（1-f），所以

圖8顯示了這兩條線是如何沿著重復(fù)平分的等腰直角三角形的邊緣相互螺旋纏繞的。對(duì)應(yīng)的邊緣比例為√2:1，因此每條螺旋路徑上的線段每轉(zhuǎn)一圈都會(huì)減半，也就是一個(gè)直角，從而產(chǎn)生了一條近似對(duì)數(shù)螺旋的正方形路徑，這與石頭上的設(shè)計(jì)不同，石頭上的設(shè)計(jì)是一條類似阿基米德螺旋的三角形路徑。新螺旋的自相似性確保了不再需要對(duì)其進(jìn)行修改以適應(yīng)額外的小箭頭。圖9顯示了圖6中帶有螺旋箭頭的圖案。

圖8：圖7中箭頭各部分之間的關(guān)系。

圖9：箭頭形狀一致的圖案。

圖10和圖9左側(cè)的圖案一樣，是根據(jù)圖3所示的原始雕刻設(shè)計(jì)的。軸已被移除，剩下的只是一對(duì)正方形螺旋，只留下一條邊界線，在螺旋的兩極有奇異點(diǎn)。顯然，遞歸可以繼續(xù)到任何深度，從而產(chǎn)生一個(gè)自相似分形。

圖10：以維京時(shí)期的原作為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)。

5中世紀(jì)的自相似設(shè)計(jì)

雖然遞歸和自參照在20世紀(jì)已變得司空見慣，但自相似性的例子在早期卻非常罕見。它們最常出現(xiàn)在伊斯蘭世界的裝飾藝術(shù)中。杰伊·邦納[7]追溯了這種自相似設(shè)計(jì)傳統(tǒng)的起源，從9世紀(jì)的開羅開始，大膽的主要圖案將較小比例的次要元素融入背景區(qū)域。到14世紀(jì)的西方和15世紀(jì)的東方，多層次幾何圖案的不同發(fā)展路線導(dǎo)致了真正的自相似設(shè)計(jì)，他將其分為三種類型。西方的例子依靠色彩來(lái)確定底層小比例圖案的大比例副本。東方的例子則是將較小比例的圖案作為背景，或作為較大復(fù)制圖案線條中的裝飾。

沒有一個(gè)伊斯蘭的例子有超過(guò)兩個(gè)的遞歸深度，邦納把這歸因于材料的限制，而不是藝術(shù)家缺乏創(chuàng)造性。Jean-Marc Castera [8]更進(jìn)一步，認(rèn)為這些設(shè)計(jì)有意表達(dá)了無(wú)限遞歸的可能性，是有意識(shí)地喚起人們對(duì)無(wú)限的感知。

另一個(gè)自相似的設(shè)計(jì)出現(xiàn)在13世紀(jì)的科斯馬蒂作品中。除了最小的三角形之外，其他三角形經(jīng)常出現(xiàn)在這幅作品中，它們由四個(gè)較小的相似三角形(連接較大三角形邊的中點(diǎn))構(gòu)成，內(nèi)部三角形的顏色與其他三個(gè)三角形形成對(duì)比。這個(gè)過(guò)程被重復(fù)，這樣每個(gè)小三角形都得到了同樣的裝飾性處理，這樣的例子幾乎一樣普遍。這可以立即被認(rèn)為是Sierpinski三角形的開始。一個(gè)最令人印象深刻的例子發(fā)生在意大利阿納格尼大教堂的人行道上(由雅格布和盧卡·科斯馬蒂兄弟設(shè)計(jì))，其中曲線三角形的裝飾達(dá)到了遞歸深度四[16](
http://odur.let.rug.nl/koster/dolls.htm)。

自相似回紋圖案與這些例子的不同之處在于它是線性的。它的構(gòu)造方法是將線段替換為更小線段的集合，而不是將一個(gè)區(qū)域或一塊瓷磚替換為更小瓷磚的集合。它的不同之處還在于沒有明顯的先例來(lái)暗示其構(gòu)造方法。邦納發(fā)現(xiàn)了伊斯蘭自相似圖案的歷史發(fā)展過(guò)程，而科斯馬蒂圖案顯然是從一種明顯的裝飾手段自然發(fā)展而來(lái)的。

一般來(lái)說(shuō)，凱爾特幾何藝術(shù)，特別是回紋圖案，由有限范圍的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備的精心制作組成。例如，只有少數(shù)可能的對(duì)稱被使用，即使當(dāng)視覺印象暗示一個(gè)不同的。其他考古學(xué)家羅米利·艾倫通常忽略對(duì)稱的整體外觀，有時(shí)會(huì)扭曲圖案以符合標(biāo)準(zhǔn)方案，只保留拓?fù)涮卣鱗12]。他對(duì)1001號(hào)圖案的分析(如上所述)同樣忽略了看似明顯的特征，這可能是為了他的分類。這種圖案的幾個(gè)版本出現(xiàn)在愛爾蘭西海岸外的阿蘭群島的Inishmore上，它們表明羅米利·艾倫關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)圖案的四個(gè)副本的解釋和遞歸構(gòu)造都沒有反映出這種設(shè)計(jì)的當(dāng)代11世紀(jì)觀點(diǎn)。由于唯一已知的例子發(fā)生在島嶼上，使得海上交流變得容易，有理由假設(shè)它們是相關(guān)的。

6. 愛爾蘭的例子

圖 11 [11] 顯示了D.格里菲斯·戴維斯繪制的Leabha Brechain橫軸的細(xì)節(jié)。它似乎與安格爾西的例子完全相同，但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)底部中央?yún)^(qū)域有不規(guī)則之處。事實(shí)上，愛爾蘭的例子沒有一個(gè)是完全準(zhǔn)確的。對(duì)這種異?，F(xiàn)象的常見解釋是藝術(shù)家的謙遜，他并不追求完美，例如[4]，但其他例子顯示出更明顯的偏差，其他解釋也是可能的。

圖11：伊尼什莫爾一個(gè)十字軸上的回紋圖案的副本。

另一種愛爾蘭回紋圖案[3](圖12)明顯更不規(guī)則。右手邊似乎支持Romilly Allen的觀點(diǎn)，因?yàn)樗晒不緢D案的兩個(gè)精確版本組成，而中心部分可能是一個(gè)失敗的嘗試，以合并連貫的更大圖案所需的修改。它可能是一個(gè)試驗(yàn)版本，或者是一個(gè)拙劣的復(fù)制品，但雕刻師不事先計(jì)劃就直接在石頭上工作似乎不太可能。

圖12：伊尼什莫爾基勒尼十字架軸上的回紋圖案。

圖13顯示的是1895年出版的一幅完整圖畫[17]，圖中的說(shuō)明顯示，人們認(rèn)為這些碎片都屬于同一個(gè)部分。這似乎不太可能，因?yàn)檩喿拥男螤钆c十字架的其他部分并不相關(guān)，但無(wú)論如何，它確實(shí)提供了回紋圖案的另外兩個(gè)例子，以及一些其他類型的幾何圖案，以供比較。

圖13：顯示兩個(gè)回紋圖案示例的圖紙。

十字架的左臂上有一個(gè)非常典型的維京時(shí)期的打結(jié)設(shè)計(jì)。例如，簡(jiǎn)單閉環(huán)的存在就很有特點(diǎn)。事實(shí)上，所有具有這種回紋圖案的紀(jì)念碑也顯示了該時(shí)期的典型元素(例如，本文初步版本中的圖15[13])，這證明了估計(jì)的建造日期約為1000年。

右手手臂顯然是基于相同的圖案，但它以相當(dāng)極端的方式扭曲。斯堪的納維亞和不列顛群島上的維京雕刻經(jīng)常展示這種狂野的蜿蜒小路，在這種文化中，重復(fù)和規(guī)則性似乎并沒有多少美學(xué)價(jià)值。最近的一項(xiàng)工作[14]討論了類似的扭曲編織Maen Achwyfan(惠特福德十字架)作為維京人的創(chuàng)新。兩個(gè)版本的設(shè)計(jì)并置可能是藝術(shù)家即興創(chuàng)作的展示，也可能是為了對(duì)比傳統(tǒng)凱爾特/盎格魯·撒克遜設(shè)計(jì)的有序規(guī)則和北歐人的野性風(fēng)格。

兩個(gè)回紋圖案之間存在類似的對(duì)比。上圖（圖14）相當(dāng)精確，只有中央部分（右下角）有一處不規(guī)則。在下例（圖15）中，中心部分完全規(guī)則，但作為外邊界的部分卻有很多變化。雛形的曲線螺旋（左側(cè)）是 Inchbrayock 十字架的一個(gè)極端構(gòu)思[14，第 218-219 頁(yè)]。我們不可能知道這些變化有什么意義，但圖15提供了一個(gè)很好的例子，說(shuō)明維京美學(xué)在回紋圖案上的應(yīng)用。

圖14：圖13 中的上部回紋圖案。

圖15：圖13中較低的回紋圖案。

無(wú)論對(duì)這種圖案的變化有什么解釋，總之它們似乎表明，這種圖案的構(gòu)思是一個(gè)帶邊框的中央部分，而不是像羅米利·艾倫所說(shuō)的那樣，是一個(gè)帶修改過(guò)的中央部分的基本圖案的四個(gè)副本。當(dāng)然，沒有任何跡象表明人們意識(shí)到了它的遞歸結(jié)構(gòu)，始作俑者最初是如何發(fā)明它的也是一個(gè)懸而未決的問(wèn)題。有證據(jù)表明，這一時(shí)期的石匠使用模板[5]，至少在雕刻作品中是這樣，而且似乎可以合理地推斷，當(dāng)時(shí)也有用于幾何設(shè)計(jì)的模板。有可能是在使用兩種尺寸的模板（一種尺寸是另一種的一半）進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)的。

7. 結(jié)論

近代以前，圖案中的自相似性非常罕見，即使出現(xiàn)，也是早期做法的自然發(fā)展。沒有明顯的傳統(tǒng)可以解釋11世紀(jì)末凱爾特回紋圖案中出現(xiàn)的自相似性，而且現(xiàn)存的例子表明，即使藝術(shù)家們意識(shí)到了自相似性，他們也沒有賦予它任何特殊的美學(xué)價(jià)值。不過(guò)，從現(xiàn)代的角度來(lái)看，自相似性意味著一種遞歸的構(gòu)造方法，可以以新穎的方式加以發(fā)展。遺憾的是，由于這種構(gòu)造方法依賴于直角等腰三角形的特殊性質(zhì)，因此沒有明顯的方法將其更廣泛地應(yīng)用?；诼菪羌^之間的相似性以及箭頭之間的空間的構(gòu)造可能會(huì)帶來(lái)更廣泛的可能性，甚至可能揭示出與凱爾特螺旋圖案的相似之處。

參考文獻(xiàn)

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青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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