四維空間中的透視與幻覺：埃舍爾《畫廊》中的德羅斯特效應

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文闡明了一種網(wǎng)格的存在——四維埃舍爾網(wǎng)格。這種網(wǎng)格使用四維空間中的透視來產(chǎn)生德羅斯特效應，參考埃舍爾作品《畫廊》中固有的埃舍爾網(wǎng)格?？紤]到埃舍爾網(wǎng)格是二維的，推測為四維人產(chǎn)生德羅斯特效應的網(wǎng)格本身可以在三維空間中產(chǎn)生。由于網(wǎng)格可以解釋為基于通過旋轉和擴展埃舍爾網(wǎng)格的正方形而獲得的圖形，因此可以解釋為四維埃舍爾網(wǎng)格是通過旋轉和擴展立方體而獲得的圖形。為了生成四維埃舍爾網(wǎng)格，首先提到了嵌套、透視和維度之間的關系，并且揭示了存在具有增加的消失點維度的“消失線”。埃舍爾網(wǎng)格中正方形的旋轉軸是畫的消失點，該點是二維平面上關于x和y對稱的點?？紤]到這一點，可以看出消失線，也就是四維埃舍爾網(wǎng)格的旋轉軸，是在三維空間中x、y、z方向上與立方體對稱的線，也就是立方體的體對角線。綜上所述，可以說四維埃舍爾格子的底是一個立方體繞身體對角線軸旋轉展開得到的圖形。

1導言

1.1德羅斯特效應（Droste effect）

德羅斯特效應是一種圖片遞歸出現(xiàn)在自身內部的效果，出現(xiàn)在現(xiàn)實中預期會出現(xiàn)類似圖片的地方，是自參照系統(tǒng)令人眩暈的循環(huán)的視覺示例。圖像的大小隨著每次迭代以幾何方式減小，因此只要圖像分辨率允許，它就會繼續(xù)。圖像的大小隨著每次迭代以幾何方式減小，因此只要圖像分辨率允許，它就會繼續(xù)。

1.2 埃舍爾的作品

荷蘭版畫藝術家埃舍爾（M.C. Escher）也有一幅利用德羅斯特效應的欺騙性繪畫作品（圖1）。畫廊里有一個正在看畫的年輕人。當你觀察這個年輕人觀看的畫面時，你會發(fā)現(xiàn)這個人本身就是畫面的一部分。

圖1：M.C.埃舍爾的《畫廊》，1956 年。

之所以會出現(xiàn)這樣的效果，是因為有一種叫做“埃舍爾網(wǎng)格”的原始網(wǎng)格創(chuàng)造了德羅斯特效應，這張圖就是基于它繪制的(圖2)。

圖2：埃舍爾網(wǎng)格

在每個方格之后，每個較小的方格都被轉移到相應的放大方格中。通過這種方法，屏幕的放大可以自動完成。具體來說，圖3-a中的矩形 KLMN 被轉換成圖3-b中的 K'L'M'N'。

圖3：埃舍爾網(wǎng)格的具體例子，引自[1]

1.3推理

埃舍爾在一個二維網(wǎng)格上繪制了一個具有德羅斯特效應的神秘三維空間。這意味著有可能在我們的空間中創(chuàng)建一個三維網(wǎng)格，使四維人產(chǎn)生德羅斯特效應。為簡單起見，將埃舍爾網(wǎng)格曲線近似為一條直線。實際上，埃舍爾最初試圖使用直線，但最終憑直覺決定使用曲線。使用這種方法，原始正方形可以更忠實地保留其原始形狀（圖4）。

圖4：埃舍爾網(wǎng)格的初始和演化類型

認為圖像失真是因為四邊形的形狀通過將曲線近似為直線而失真，但是可以認為德羅斯特效應的本質部分沒有丟失。然后，這個網(wǎng)格被解釋為通過圍繞消失點旋轉和擴展一個正方形而獲得的網(wǎng)格(圖5)。

圖5：直型埃舍爾網(wǎng)格

此時，我們三維人可以感知網(wǎng)格本身，但無法感知像埃舍爾這樣的人在基于“四維埃舍爾網(wǎng)格”的四維空間中制造的三維空間，就像生活在平地上的二維人無法感知埃舍爾繪畫的幻覺一樣。作為一個三維人，我能做的就是畫這個格子，其中的樂趣只有四維人才知道。

2創(chuàng)建四維埃舍爾網(wǎng)格的方法

2.1嵌套、透視和維度之間的關系

作為生成四維埃舍爾網(wǎng)格的過程，必須首先描述嵌套、透視和尺寸之間的關系。從二維角度看，圖6看起來像一個正方形中的正方形，但是因為我們也有三維視角，所以看起來像是從上面看盒子。這是一個透視感知，一個消失點出現(xiàn)在盒子底部的中心。二維中的“內部”在三維中變成了“背面”。這里重要的是你有能力在不同的維度上感知同一個圖形。

圖6：二維嵌套

然后，當增加維度時，正方形中的正方形變成立方體中的立方體(圖7)。我們只能感覺到“里面”，但四維的人一定能感知到這是“后面”。此時，既然維度更高，那么“消失點(零維)”就應該是“消失線(一維)”?？紤]到正方形中的消失點是在x和y方向上與正方形對稱的二維點，消失線是在x、y和z方向上與立方體對稱的三維線，并且正好是立方體的對角線。

圖7：三維嵌套

2.2四維埃舍爾網(wǎng)格的生成過程

四維埃舍爾網(wǎng)格是通過旋轉和放大立方體的對角線作為旋轉軸來近似描述的圖形（圖8）。放大和導出的數(shù)量是任意的，因為它與埃舍爾網(wǎng)格繪制的細分程度相同，這是一個類似的數(shù)字。

圖8：旋轉和擴展立方體的過程

圖9展示了離散描述立方體旋轉膨脹的結果。

圖9：旋轉和擴展立方體的模型

考慮到通過增加圖5的維度來創(chuàng)建四維埃舍爾網(wǎng)格，精確的圖形是其中圖9中生成的每個立方體的每個邊都被延伸的圖形。這里，整體復雜且難以理解，一部分被放大顯示(圖10)。

圖10：四維渦流效應模型的一部分

旋轉和展開一個立方體是一個極其簡單的過程，但是通過把它的旋轉軸設置為x，y，z三個參數(shù)的立方體對角線，就產(chǎn)生了一個不可想象的。這說明我們還缺乏對三維空間的把握能力，而這個圖形與四維空間相連是非常有趣的。

參考文獻

1. Ernst, B., Toverspiegel, D., van Escher, M.C.: English translation by J.E. Brigham: The Magic Mirror of M.C. Escher. Ballantine Books, New York (1976)

2. Abbott, E.A.: Flatland: A Romance of Many Dimensions. Seeley & Co. (1884)

3 Ikko Yokoyama, Perspective and Illusion in Four-Dimension: Droste-Effect in Four-Dimension Based on Escher’s Work

青山不改，綠水長流，在下告退。

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