函數(shù)空間作為向量空間 | 泛函分析第二講

導(dǎo)語

集智學(xué)園聯(lián)合東京都市大學(xué)賈伊陽老師共同開設(shè)了「」課程，本系列課程將以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo)為核心，逐步建立泛函分析的基礎(chǔ)架構(gòu)。第一階段將探討從有限維跨越到無限維的動(dòng)機(jī)與基礎(chǔ)；第二階段將重點(diǎn)建立度量與完備性，掌握 Banach 空間與不動(dòng)點(diǎn)定理的精髓；第三階段將深入探討 Hilbert 空間的幾何結(jié)構(gòu)與對偶空間的映射體系。最終，在第四階段，將梳理完整的結(jié)構(gòu)總覽與應(yīng)用地圖，透視這些純粹的數(shù)學(xué)工具如何作為底層基石，廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代物理、復(fù)雜系統(tǒng)模擬與前沿計(jì)算科學(xué)中。

作為系列課程的第二講，賈伊陽老師將以「函數(shù)空間作為向量空間」為主題，將探討函數(shù)空間作為線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)，涵蓋連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]與多項(xiàng)式空間。通過傅里葉級數(shù)及基展開失敗的經(jīng)典案例，剖析無限維與有限維的本質(zhì)差異，建立“無限維絕非簡單??延伸”的認(rèn)知。正式分享將于4月12日（周日）19:00-20:30進(jìn)行。

主題：函數(shù)空間作為向量空間

課程簡介

NeRF 用正弦特征讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)到高頻細(xì)節(jié)，F(xiàn)NO 在 Fourier 域直接學(xué) PDE 解算子，F(xiàn)Net 用無參數(shù) Fourier 變換替代 Transformer 的 self-attention，這些近幾年落地的方法，背后都依賴同一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：函數(shù)空間。本講作為系列課程的第二講，來進(jìn)一步回答：函數(shù)為什么能成為向量空間的元素？函數(shù)空間與普通向量空間的關(guān)系是什么？

課程從直覺出發(fā)，以混音（加法）和調(diào)音量（數(shù)乘）說明函數(shù)的向量結(jié)構(gòu)，再引入連續(xù)函數(shù)空間與函數(shù)集合是否構(gòu)成向量空間的判別條件。主線隨后轉(zhuǎn)向 Fourier 正交基：從正則歸一化到傅里葉系數(shù)，再到隨機(jī) Fourier 特征、坐標(biāo)型 MLP 的 spectral bias 修正，以及 FNO 算子學(xué)習(xí)與 FNet 的頻域 token mixing。核方法與 RKHS 作為函數(shù)空間優(yōu)化的另一條線索并行展開：訓(xùn)練等價(jià)于在函數(shù)空間中最小化損失加范數(shù)懲罰。最后講解范疇論視角下有限維與無限維空間及基的結(jié)構(gòu)對比，供有興趣的學(xué)員延伸。

學(xué)完本講，能建立“函數(shù)即向量”的操作性直覺，理解 Fourier 基在機(jī)器學(xué)習(xí)中的具體用途，并對 RKHS 框架在核方法中的角色有清晰認(rèn)識。

課程大綱

1. 函數(shù)空間的向量結(jié)構(gòu)

   1. 函數(shù)加法與數(shù)乘的實(shí)例：混音與調(diào)音量

   2. 函數(shù)集合構(gòu)成向量空間的判別條件

   3. 連續(xù)函數(shù)空間 C[a,b] 的基本性質(zhì)

2. Fourier 正交基

   1. 正則歸一化與傅里葉系數(shù)

   2. 復(fù)指數(shù)形式與 Hilbert 空間的預(yù)告

   3. Fourier 基的核心啟發(fā)：任意函數(shù)分解為振蕩基函數(shù)的線性組合

3. Fourier 基在機(jī)器學(xué)習(xí)中的四類應(yīng)用

   1. 隨機(jī) Fourier 特征：平移不變核的顯式近似，大規(guī)模核學(xué)習(xí)的可行化

   2. Fourier feature mapping：克服 MLP 的 spectral bias，改善 NeRF 等隱式表示的高頻學(xué)習(xí)

   3. FNO（Fourier 神經(jīng)算子）：在 Fourier 域?qū)W習(xí) PDE 解算子，全局耦合與頻率截?cái)?/p>

   4. FNet：用無參數(shù) Fourier 變換替代 self-attention 的 token mixing，同等精度下訓(xùn)練提速 70–80%

4. 核方法與 RKHS

   1. 核函數(shù)的鄰近權(quán)重結(jié)構(gòu)（以指數(shù)衰減為例）

   2. 再生核 Hilbert 空間（RKHS）中的范數(shù)與正則化

   3. 機(jī)器學(xué)習(xí)訓(xùn)練的函數(shù)空間解釋：最小化損失加范數(shù)懲罰

5. 范疇論補(bǔ)充：有限維與無限維的結(jié)構(gòu)對比

   1. 有限維向量空間的基與坐標(biāo)同構(gòu)

   2. 無限維空間中基的收斂性問題

   3. 范疇論視角下兩類空間的結(jié)構(gòu)差異

課程信息

課程主題：函數(shù)空間作為向量空間

課程時(shí)間：2026年4月12日（周日） 19:00-20:30

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內(nèi)通知）；集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3個(gè)工作日內(nèi)上線）

課程主講人

賈伊陽，東京都市大學(xué)講師、前日本女子大學(xué)助理教授，前日本成蹊大學(xué)助理教授。研究重點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜性，算法，以及范疇相關(guān)理論。集智學(xué)園《》課程講師。

課程適用對象

• 做微分方程、數(shù)值算法、反問題、信號處理、控制的學(xué)習(xí)者與研究者

• 做優(yōu)化、機(jī)器學(xué)習(xí)、統(tǒng)計(jì)推斷，希望理解正則化與泛化的結(jié)構(gòu)來源的研究者

• 讀量子/數(shù)學(xué)物理文獻(xiàn)，希望把 Hilbert 空間與算子語言用順手的研究者

• 更廣義地：經(jīng)常處理“函數(shù)作為未知量”的問題、并且想要一套可遷移框架的研究者

1. 面對一個(gè)新問題，你能先問對問題：該在哪個(gè)空間里解？該用哪個(gè)范數(shù)衡量誤差？需要什么完備性？算子是否有界？

2. 你能理解常見方法背后的統(tǒng)一邏輯：迭代為何收斂、正則化為何穩(wěn)定、最小二乘為何等價(jià)于投影、弱解為何成立。

3. 你會獲得一套“抽象但可落地”的語言：寫證明、讀論文、做建模時(shí)，能把碎片化技巧收束到結(jié)構(gòu)層面。

1. 課程形式：騰訊會議直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播。本系列課程不安排免費(fèi)直播。

2. 課程周期：2026年3月29日-2026年6月14日，每周日晚19點(diǎn)-21點(diǎn)進(jìn)行。

3. 課程定價(jià)：原價(jià)499

   1. 早早鳥價(jià)299，截止時(shí)間：2026年3月22日中午12點(diǎn)

   2. 早鳥價(jià)399，截止時(shí)間：2026年3月30日中午12點(diǎn)

課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5700?from=wechat

付費(fèi)流程：

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程共創(chuàng)任務(wù)：課程字幕

為鼓勵(lì)學(xué)員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識傳播成果，并構(gòu)建課程知識共建社群。為此，我們特別設(shè)立激勵(lì)機(jī)制，讓您的學(xué)習(xí)之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結(jié)束后，助教會于課程群內(nèi)發(fā)布字幕共創(chuàng)任務(wù)。學(xué)員通過參與這些任務(wù)，不僅能加深對內(nèi)容的理解，還可獲得積分獎(jiǎng)勵(lì)。積分可兌換其他讀書會課程或?qū)嵨铼?jiǎng)品，助力您的持續(xù)成長。