PRL：量子水池中的漣漪，如何在“混沌邊緣”觸發最強算力

導語

向平靜的水池投入石子，漣漪在水面交織，將擴散出復雜的信息波紋。這種樸素的物理直覺，正在推進機器學習的前沿：量子儲層計算。與動輒消耗巨量算力的深度學習不同，量子儲層計算巧妙利用量子系統的自然演化，將復雜任務簡化為“讀出漣漪”的過程。其中，性能的最優解并不在于單純的有序或徹底的混亂，而在于那道微妙的“混沌邊緣”。本文將介紹儲層計算的物理內涵 ，看科學家如何利用量子系統的信息彌散及高維態空間特性，在“記憶”與“處理”的博弈中，找到通往最強算力的混沌邊緣“甜點位”。

關鍵詞：量子儲層計算，量子混沌，SYK模型，時間序列

李文韜丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：Edge of Quantum Chaos in Quantum Reservoir Computing 論文地址：https://doi.org/10.1103/j2qj-vwcl 發表時間：2026年1月28日 發表期刊：Physical Review Letters

儲層計算（Quantum Reservoir Computing）是適用于時間序列問題的一種機器學習框架，特點在于訓練和運行成本低。其原理是將輸入信號通過非線性映射，嵌入到高維空間中，最后再對高維空間中的矢量做一個線性變換，作為讀出層。在機器學習的意義下，這個單層的線性變換是唯一需要訓練的權重層。研究團隊提出：相比于經典比特，量子比特可以在指數維度增長的Hilbert空間中編碼信息，從而提供更高維的特征表示能力。此外，量子多體系統中存在疊加與糾纏等現象，使得輸入信息在系統演化過程中產生復雜的高階相關結構，并通過測量過程體現為非線性的輸出響應。進一步地，量子系統中的信息彌散（scrambling）過程能夠將局域輸入快速擴展到全系統，從而同時引入非線性特征與時間相關性。

基于這些性質，一個關鍵問題是：如何調控量子動力學過程，使系統既能夠充分利用高維與復雜相關性來增強信息處理能力，又不會因信息過快隨機化而喪失對輸入歷史的記憶，從而提升儲層計算的整體性能？

1. 背景：儲層計算的特點

除明確標明之處以外，以下的簡要介紹部分為作者所寫，并非論文原文的內容，而只是起到補充作用。

通常的神經網絡是由多層神經元組成，每層神經元相當于一個巨大的矩陣，神經元對應矩陣的元素。在訓練神經網絡的過程中，每個神經元都需要根據損失函數的梯度下降進行修正，訓練成本因而隨著神經網絡的規模增加而劇烈增加。另外，在梯度下降算法的具體實現中，有可能遇到局部極值問題，因此訓練過程的收斂性不能很好地得到保證。

儲層計算是一種新型的機器學習架構。所謂的儲層（reservoir）指的是一個高度非線性的函數，該函數將輸入信號映射至高維空間中的某個矢量。給定一個非線性函數，在訓練神經網絡的過程中，該函數并不受到修正，唯一受到優化的是最后的“讀出層”。由于訓練過程只是優化最后一層神經網絡，訓練問題可以被轉化為一個凸優化問題，也就是說訓練過程的收斂性更可靠、代價更低。“儲層”指的就是把輸入信號“映射”、從而“存儲”到某個高維空間（“層”）的這一結構。

研究者指出，儲層中所使用的非線性映射，并不一定需要在計算機中實現，而是可以利用各種各樣物理上便于實現的非線性系統來構造，只要最后可以讀出一個矢量值即可。因此，集成光子學系統或者其他物理系統可以針對儲層映射來優化性能，從而節能并且加速訓練。

儲層類似于一個水池，如果池中投入石子，將會產生一些水波；如果只觀測池中某個特定水分子的運動，那么只能得到一個熱運動夾雜著機械運動的信號，但是如果拍攝水池的俯視圖，就可以看到水波是如何隨著時間向外傳播的。連續投入多個不同重量、下落速度、下落方向的石子，激發的水波也不一樣。

這個例子中，水池的俯視圖是一個高維空間，而單個水分子的運動軌跡是低維的。從這個直觀例子可以發現，將信號“漣漪般散開”到一個高維空間有助于記憶和處理時間序列信息。

處理時間序列問題，為什么需要一個非線性映射？我們考慮一個由“0”、“1”組成的信號序列，如果我們用一個線性映射來“記住”這個序列，那么最簡單的映射就是復制，將這個“01001110...”的字符串直接存儲到“儲層”中。 這類似于輕輕地向水池投入石子，激發的水波遵循線性方程，互相之間可以相互疊加和干涉，但不會相互作用。

這個儲層可以執行最簡單的時間序列任務，例如“記憶”問題，也就是“回答出之前某個時刻的信號是什么”，但是無法執行任何非線性的運算，例如“上一個和上上個信號的AND運算”。AND 運算是非線性的，因為它不滿足疊加律。我們用 (x,y) 表示兩個字符串 x 和 y，逗號左邊和右邊的字符串將會被取 AND。考慮 (1,1) 和 (1,0) 這兩對字符串。作為二進制字符串的和為 (0,1)，再取AND 為 0，但 AND(1,1)=1, AND(1,0)=0, 相加為1。

這種非線性相互作用就類似水波之間的非線性相互作用：如果投入石子時非常用力，那么或許不僅會激發水波，還會濺起各種形狀的水花，而水花落到其他石子的水波上又導致其形狀改變，等等。考慮極端情況，如果落入的不是石子而是一塊巨大的、高速墜落的隕石，那么它激起的水花可能會過于劇烈，導致之前投入的石子所激發的波紋變得混亂而不可辨識。

因此，直觀上可以理解：儲層映射的非線性映射功能與記憶功能之間，存在矛盾。信息之間的相互作用，不一定是可逆的：從非線性相互作用的結果出發，不一定能可靠地反推出參與相互作用的信息原來是什么樣。例如 AND 運算就是不可逆的，滿足 AND(x, y) = 0 的 (x, y) 有 3 種可能性，從 AND 運算結果無法可靠地知道原先的 (x, y) 是什么。

既然非線性與記憶之間存在矛盾，為什么最終的讀出層仍然只需要一層矩陣運算，即可經過訓練而完成多種多樣的任務？這是因為，讀出層的有效性并不取決于任務本身的線性與否，而是取決于儲層空間是否足夠高維，以至于信號中復雜的特征能夠充分地在高維空間分離。例如桌面上擺放著黑白兩種顏色的玻璃球，在桌面上畫一條線分開它們或許很難，但是如果這些球是懸浮在三維空間中，那么通過巧妙地選取一個二維平面，或許就可以很好地分開兩種球。這個例子中只有“顏色”一個特征需要分辨，但我們完全可以想象，也許時間序列的每個信號還有另一種與顏色無關的特征，那么儲層空間還需要為這個特征再分配幾個維度。為了處理復雜信號，儲層空間的維度應該增加，這樣即可減輕讀出層的負擔。

既然儲層映射需要引入一定的非線性，那么具體來說，怎樣的非線性映射最為合適？考慮一個連續的非線性映射，例如非線性微分方程的演化過程：初值被非線性地映射到軌跡上的某一點，那么軌跡的特點就決定了該映射的特點。從不動點、軌道和吸引子的角度來看 (Strogatz 2024)，信號在儲層映射下的像最好不要都局限在某個吸引子、甚至是軌道附近（這將導致非線性映射的行為類似于線性映射，缺乏相互作用），但也不要完全混亂地遍歷全空間（這將導致儲層計算讀出層的負擔太重，信號的特征幾乎被混沌抹去了）。

以下內容均來自論文原文及分析。

當儲層映射是經典的，相應的儲層計算框架稱為經典儲層計算；對于量子的儲層映射（即，借助量子系統的時間演化實現映射），相應框架稱為量子儲層計算 (Quantum Reservoir Computing, QRC)。已有文獻指出，最適合經典儲層計算的映射是那些處于混沌邊緣（edge of chaos）的映射（見原文參考文獻48-55）。研究團隊類比經典情況，針對量子儲層計算提出如下猜想：對于量子的儲層映射，最適合儲層計算的也是那些在時間演化過程中，處于量子混沌邊緣的系統。

針對非線性方程和經典動力系統，已經有較為普適的可觀測量用于刻畫“混沌”，例如李雅普諾夫指數 (Lyapunov exponent)(Strogatz 2024)，當演化時間大于 Lyapunov 指數，系統將呈現劇烈的初值敏感性質，即經典混沌的定義。對于量子系統，沒有“軌道”、“Lyapunov指數”等概念，甚至連更一般的“量子混沌”具體如何普適定義也還沒有定論。因此，研究人員選擇了一個具體的嚴格可解模型作為研究的出發點，這就是SYK (Sachdev-Ye-Kitaev) 模型（參見原文參考文獻62-65）。這是一個既能夠刻畫信息彌散，又具備良好可調性的模型體系，利于系統地研究。

2. 方法：用嚴格可解模型作為例子

SYK 模型由格點上的哈密頓量定義，其具體形式為

其中 N 是系統總格點數， 是費米型產生、湮滅算符， 都是從高斯型隨機矩陣 (Gaussian random matrices)中采樣的元素，J 是相互作用強度，κ 是無相互作用項。也就是說，研究人員采用的儲層映射是 , 其中第一個格點的量子態初值由時間序列信號設定（參見原文公式 2 及相關介紹）。

SYK 模型的特點是：在時間維度上，存在類似于 Lyapunov 指數的 Thouless time，系統演化時間超過 Thouless time 以后，就呈現出混沌的特點。在參數維度上，可以調節相互作用強度來調節信息彌散（即混沌）程度，即 J/κ 越大，系統的混沌特點越強，當 J=0, 系統完全不具有混沌。

針對這一模型，用來判斷混沌與否的可觀測量是能量本征態間隔分布 (eigen-energy spacing distribution)和譜結構因子(spectral form factor, SFF)，可用于確定是否處于混沌狀態，以及混沌-非混沌的轉變點。其中，SFF適用于時間維度，能量本征態間隔分布適用于處理參數維度。

研究人員使用兩種時間序列任務測試量子儲層計算在不同條件下的性能：短時記憶（Short-term Memory, STM）和非線性自回歸平均問題（Nonlinear Auto-regression Moving Average, NARMA），前者考驗短期記憶，要求儲層計算模型記住 d 步之前的輸入信號，另一個考驗記憶和信息處理（即非線性計算）能力，要求儲層計算模型輸出前序信號的一次型平均值與二次型平均值的加權和（具體見原文第3頁）。由于表達式中出現了二次型，NARMA任務顯然無法用線性的儲層映射完成。

具體而言，研究人員將儲層映射設定為 8 個格點上的 SYK 模型時間演化，針對不同的演化時間和混沌參數（時間和參數都可以調節混沌與否，因此共 2×2=4 種情況），分別執行兩種任務，考察表現，因此共有 8 種情況。

3. 發現：量子混沌的邊緣利于儲層計算

研究人員進行的8次數值實驗，可以根據任務類型（共2種）和實驗條件（調節時間和參數分別是否混沌）來分類，如圖所示。上半部分對應的是固定哈密頓量參數、調節演化時間，也就是跨越了量子混沌的 temporal edge。類似地，下半部分對應的是固定演化時間、調節哈密頓量參數，也就是跨越了量子混沌的 parameter edge。

圖為作者所畫的文章思路示意圖。每個黑色坐標軸的正向都代表混沌，負方向代表非混沌，坐標原點對應混沌與非混沌的臨界值。每個藍色的箭頭代表調節系統性質、觀察儲層計算性能的一次實驗。箭頭方向代表系統性質向某個方向進行調節，箭頭附近的符號代表實驗測得的儲層計算性能，從差到好依次是?、、?。其中，代表性能相對好但是沒有峰值、無法優化，?代表性能相對好且存在確定的峰值位置。

圖1：(a), (b)：SYK4,SYK2 模型分別對應的譜結構因子，每條曲線表示20000次實驗的平均值。(c), (d)：量子儲層計算的性能作為 Δ tin 的函數，分別對SYK4,SYK2 模型進行計算。上半部分的圖中標明了記憶任務性能 （值越高代表性能越好），下半部分的圖中標明了歸一化均方誤差在NARMA任務下的值（值越低代表性能越好）。不同圖形符號代表不同的任務階數 n=2,3,5,7。水平的虛線是Haar量子儲層計算的性能，作為定標的依據，與本文實現的儲層計算模型作對比。所有的性能值都是在500次計算后取平均所得，曲線周圍的陰影部分代表實驗樣本的標準差。圖中的豎直虛線代表 Thouless time，記作 tTh。

圖2：(a), (b)：量子儲層計算的性能作為 κ2/J4 的函數，分別在輸入間隔 Δ tin 為50 和1 下測得，類似圖1的(c)和(d)。圖形符號代表不同的階數，顏色代表能量本征值間距分布的性質，藍色代表混沌，紅色代表非混沌。虛線代表能量本征值間距分布的實驗測得值與理論值的差距小于10-2的臨界點。

3.1. STM任務

在STM任務中，儲層計算只需執行一個線性的“復制粘貼”即可。因此，在這個任務中，SYK模型越混沌，表現就越差。從圖1 可以看出，系統達到 Thouless time 以后，針對該任務，J/κ 較大時，儲層計算的表現較差；從圖2(a) 中也可以看出，系統哈密頓量的參數越偏向混沌，表現就越差?？偠灾撊蝿詹]有展現出“混沌邊緣”的特點，而只是單純地不適合混沌系統，在系統跨越混沌邊緣時，也沒有呈現出性能峰值，而只是單調變化。這都是由該任務的線性性質導致的。

3.2. NARMA 任務

在 NARMA 任務中，儲層計算既需要執行線性的加權平均，又需要計算二次型的表達式，因此這個任務需要儲層計算模型在記憶和非線性處理之間取得平衡。

從圖1可以看到，對于參數較為混沌的系統，隨著儲層映射的演化時間增加，儲層計算性能在演化時間略小于 Thouless time 處取到峰值，且任務越簡單，性能越好；對于參數并不混沌的系統，隨著儲層映射演化時間增加，儲層計算性能只是單調上升并飽和，且性能與任務的復雜度無關（任務即使簡單，性能也一樣差）。

從圖2 可以看到，如果只允許儲層映射進行哈密頓量的短時演化，以至于無法到達混沌時間，那么即使在參數維度跨越混沌邊緣，也沒有意義，無法提升儲層計算性能（這是因為足夠的時間也是達到混沌的充分條件之一）；如果給予儲層映射足夠的演化時間，那么，在參數 J/κ 跨越混沌邊緣時，NARMA 任務的性能將取到峰值。

特別地，針對“跨越參數邊緣（temporal edge）”且演化時間足夠長的情況，研究人員調節了 NRAMA 任務的階數（原文稱作 "order", 由字母 n 表示，具體見原文第3頁）。從 NARMA 任務的定義可以看出：n 越大，代表儲層計算系統需要記住越“久遠”的信號。由于非線性映射不利于記憶，直觀上不難猜想：n 越大時，最優的參數應該越遠離混沌邊緣、偏向非混沌區域。而原文中的圖 4(a) 恰恰也反映了這一點，針對越大的 n，性能峰值對應的 κ2/J4 參數位置越大，即越偏向非混沌。

4. 總結與展望

匯總所有的數值結果，研究人員發現：在 8 種情況中，STM 任務對應的 4 種情況較為平凡，無法顯示出混沌邊緣效應，儲層計算性能完全由哈密頓量參數決定；而 NARMA 任務對應的 4 種情況顯著地表現出了混沌邊緣效應，即，在“時間”和“參數”兩個維度中，如果其中一個已經滿足混沌，另一個從“非混沌”變為“混沌”，那么系統將在這個過程中展現出量子儲層計算的峰值性能。并且研究人員進一步發現，峰值對應的位置，取決于機器學習任務本身在“非線性與記憶的矛盾”中偏向哪一方。

本文從一個自然的經典-量子類比出發，提出了量子儲層計算與量子混沌邊緣有關，并數值上研究了這種關系具體如何，以及，這種關系如何受到儲層計算任務的影響。研究團隊認為，他們的結果雖然是從具體的 SYK 模型得到，但是譜結構因子和能量本征態間隔分布都是不依賴于模型的可觀測量，并且并不僅僅對 SYK 模型有效，因此他們的思路和方法可以拓展到其他模型中。

原文研究的模型是隨機矩陣模型，但量子混沌還有其他模型，例如局域化相變 (Ergodic-Localization transition)(Abanin et al. 2019)。使用其他量子混沌模型的量子儲層計算性能究竟如何、與隨機矩陣理論又有什么聯系、隨機矩陣理論在多大程度上能普適地刻畫量子混沌與量子儲層計算的關系，仍有待研究。

對機器學習系統的全面評估，本身就是復雜的；研究團隊也提到，由于量子儲層計算是結合了經典機器學習與量子演化的機器學習框架，如何判定系統的某個特點究竟來自量子部分還是經典部分，本身就具有挑戰性。這也是一個需要結合機器學習的工程實踐與量子混沌的物理直覺的開放問題。

參考文獻

• Strogatz, Steven H. 2024. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 3rd ed. Chapman and Hall/CRC. https://doi.org/10.1201/9780429398490.

• Abanin, Dmitry A., Ehud Altman, Immanuel Bloch, and Maksym Serbyn. 2019. “Many-Body Localization, Thermalization, and Entanglement.” Preprint, February 13. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.91.021001.

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