日本“算圣”關孝和與江戶數學的孤峰

作者：蔣豐

在中國大元王朝朱世杰的數學著作《四元玉鑒》沉寂四百年后，東瀛列島一位自稱“藤原姓”的武士，用一套獨創的“點竄術”與“傍書法”，竟獨立發展出可與明清算學對話的數學體系。

那是元祿四年（1691年），江戶城神田織部坂的宅邸內，五十歲的關孝和正面對滿桌算木與算籌。紙門上松影搖曳，這位御納戶組的幕府旗本，此刻的身份并非武士，而是日本數學史上一顆最明亮的星辰。

《關孝和全集》（大阪教育圖書，1997年版）首卷記載其“生年不詳，卒于寶永五年十月二十四日（1708年12月5日）”。但是，據弟子建部賢弘《發微算法演段諄》跋文推測，其活躍期恰逢江戶幕府第五代將軍德川綱吉治下的元祿盛世。在町人文化勃興的縫隙中，一種被稱為“和算”的本土數學正悄然生長。

關孝和出身武士家族，幼年從師學漢算，《增修關孝和全集》附錄載其“初習《算法統宗》，后通《九章》、《周髀》”，表明其知識源流始于明清時代傳入日本的中國算書。不過，真正轉折應該是發生在寬文十年（1670年），他偶獲三百年前中國大元王朝朱世杰《四元玉鑒》殘本——這部在故土已瀕失傳的元代杰作，意外成為點燃起和算革命的火種。

貞享元年（1684年），關孝和完成《發微算法》。這部被建部賢弘稱為“和算之樞機”的著作中，出現了改變日本數學走向的創舉：“傍書法”（代數記法）。他舍棄傳統算籌，采用漢字與符號混合系統，如“甲加乙”表兩數之和，“甲自之”表平方。

《日本數學史》第三卷特別指出，這套系統與同期歐洲代數符號雖形異而理同，卻完全獨立發展。更驚人的是其“點竄術”（行列式解法），《解伏題之法》手稿顯示，他通過移動算籌位置（點竄）求解高次方程，實質上發現了比萊布尼茨早十年的行列式概念。

“所謂點竄者，移算木之位，觀其交錯而成解。”弟子荒木村英在《古今算法記》中如此描述。當關孝和用這種獨創方法解開“圓理”（圓周率）問題時，他實際上觸及了解析幾何的邊界——用行列式處理圓錐曲線交點，恰是后世射影幾何的雛形。

元祿七年（1694年），關孝和隱居江戶淺草期間的算學筆記里，密密麻麻布滿了正131072邊形的計算。《關孝和全集》第二卷收錄的《括要算法》顯示，他將圓周率計算至小數點后第20位，所用“增約術”本質是遞歸數列的極限思想。

同時期中國數學家梅文鼎正在用“割圓術”逼近圓周率，而關孝和的方法呈現出奇特的平行演進。《增修關孝和全集》解題篇指出：“其圓理術與劉徽、祖沖之血脈相連，然其‘零約術’之精妙，已暗合無窮級數之理。”這種通過正多邊形周長逼近圓周率的方法，在關孝和手中被推向當時人力計算的極致。

更值得玩味的是其數學哲學。《關孝和遺稿》中有段不起眼的眉批：“數無虛實，唯道有本末。”當他用“累遍增約術”處理橢圓弧長時，實際上在挑戰“徑一周三”的千年教條。這種對“道”與“術”關系的思考，使他的工作超越了單純計算，具備了某種數學本體的探求意味。

寶永二年（1705年），位于江戶芝的增上寺懸掛出一塊特殊繪馬——木板上刻著三道微分方程題，署名“關孝和門人集體奉納”。這方現存東京國立博物館的“算額”，成為關流學派公開挑戰天下學者的戰書。

關孝和開創的“關流”采取秘傳制度，《關流口傳書》規定“一子相傳、擇賢而授”，但其數學成果卻通過“遺題繼承”這種獨特方式傳播。每年正月，弟子們在神社懸掛算額（數學問題繪馬），吸引全國“算額道”愛好者破解。《日本科學史大系·數學卷》統計，元祿至明治初期全日本約留下八百余塊算額，其中三成與關流命題相關。

這種介于秘傳與公開間的傳播模式，造就了奇特的知識生態。一方面，核心的“點竄術”真義只傳嗣子（實際由外甥、后來成為養子的關孝正繼承），另一方面，挑戰性算題又刺激了整個和算社群的發展。建部賢弘在《大成算經》序言中坦言：“師嘗云：‘閉戶則道絕，開戶則道濫。’故設此兩全之法。”

寶永五年那個秋日，當關孝和在江戶淺草邸內病逝時，他大概不會想到，自己開創的數學傳統會在兩百年后瀕臨滅絕。明治維新“和算廢棄令”頒布后，《關孝和全集》編纂者林鶴一在1910年的調查中發現，關流秘傳本“十不存一”，大量算學手稿被用作糊窗紙或焚于灶火。

然而20世紀初的數學史家們，在塵封的寺廟倉庫與舊書店暗閣中，展開了驚心動魄的“和算搶救運動”。三上義夫1913年發表于《東京物理學校雜志》的論文第一次將關孝和的“點竄術”與萊布尼茨行列式理論對比，震驚西方數學史界。更戲劇性的發現發生在1936年——東北大學收藏的《關孝和遺稿》中，竟找到關于“伯努利數”的獨立發現記錄，比雅各布·伯努利還早二十年。

這些離散的文本碎片逐漸拼合出一個被遺忘的天才形象。尤其是昭和九年（1934年）在京都西本愿寺發現的《解伏題本義》抄本，清晰展現了孝和從“天元術”到“多元高次方程組”的突破路徑。日本學士院編纂的《明治前日本數學史》評價：“其算法雖無歐洲近代數學之符號體系，然其思維已達到同等抽象高度。”

今天，當學者在《關孝和全集》第五卷中，看到他用漢文撰寫的“方程術”旁密密麻麻的日語訓點批注時，能感受到一種文明嫁接的張力。哈佛大學科學史教授J.W.Dauben指出：“關孝和的案例表明，近代數學的種子可以在完全不同的文化土壤中萌發，雖然最終未能長成參天大樹。”

孝和晚年最重要的著作《七部書》現已散佚，但通過弟子們《大成算經》、《拾璣算法》等書的轉引，仍可窺見其體系全貌。法國漢學泰斗馬若安在《中國數學史》補遺中特別強調：“關孝和的工作證明，在17世紀全球數學發展的圖譜上，存在著歐洲與中國之外的第三條路徑，這條路徑因文明語境的特殊性而中絕，但其智力成就不應被忽視。”

學者村田全在《日本的數學 西洋的數學》（中公新書，1981年版）中略帶傷感地表示：被譽為日本“算圣”以至“和算”的“關流”，最終在明治維新“脫亞入歐”的浪潮中沉寂，但關孝和留下的那些綴滿算式的繪馬，仍懸掛在時間的走廊深處，成為東方智慧獨立探索數學真理的永恒見證——當他在元祿年間的京都，用“點竄術”解開一個高次方程時，那個瞬間，數學真正成為了跨越文明的人類共同語言。（2026年4月27日寫于北京燕京飯店1809房間）