《人類科學(xué)技術(shù)史-283》分析學(xué)的嚴(yán)格化和復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立

分析學(xué)的嚴(yán)格化和復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立

一般說來，凡本質(zhì)上與極限概念有關(guān)的數(shù)學(xué)分支稱為分析數(shù)學(xué)。它是17世紀(jì)以來在微積分學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)上形成的數(shù)學(xué)中一大分支。它曾和幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)并列為數(shù)學(xué)中三大主要分支。

圍繞著分析學(xué)的基礎(chǔ)問題，在18世紀(jì)曾經(jīng)進(jìn)行過一場(chǎng)爭(zhēng)論。到了19世紀(jì)，分析學(xué)中直觀的然而并不嚴(yán)密的論證所導(dǎo)致的局限性和矛盾愈顯突出。因此分析學(xué)的嚴(yán)格化問題日益引起數(shù)學(xué)家的關(guān)注。事實(shí)上，這時(shí)期的微積分雖然已發(fā)展成為一門獨(dú)立的學(xué)科，具有豐富的內(nèi)容和廣泛的應(yīng)用，但是它自己還未形成嚴(yán)格的邏輯體系。

微積分學(xué)中的一些基本概念，如函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、微分和積分等概念都沒有嚴(yán)格的定義。分析學(xué)的嚴(yán)格化是從波爾查諾(1781-1848，捷克）、柯西(1789-1857，法國(guó)）、阿貝爾和狄利克雷(1805-1859，德國(guó)）的工作開始的，并由外爾斯特拉斯(1815-1897，德國(guó)）進(jìn)一步發(fā)展了的，其中柯西與外爾斯特拉斯的工作為最主要。通過上述數(shù)學(xué)家的工作確立了以極限理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代分析學(xué)體系，這是19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展中最為重要的成就之一。

1673年，萊布尼茨(1646-1716，德國(guó)）首先使用函數(shù)這一概念?？挛髟谒摹斗治鼋坛獭?1821年）中從定義變量開始，對(duì)于函數(shù)概念引入了變量間對(duì)應(yīng)關(guān)系。狄利克雷在1837年以變量間對(duì)應(yīng)關(guān)系的說法給出了(單值）函數(shù)概念的現(xiàn)代定義，根據(jù)這個(gè)定義，對(duì)于函數(shù)不一定要求有解析表達(dá)式。

如在1829年給出的狄利克雷函數(shù)，即在一切有理數(shù)取值為1，在一切無理數(shù)取值為0的函數(shù)。顯然，這并不需要用解析表達(dá)式表示后才確定其為函數(shù)。

在分析學(xué)發(fā)展史上，極限理論的建立具有重要的意義，這一工作主要由柯西完成的?？挛魍ㄟ^變量概念，而不是用幾何與力學(xué)的直觀給出了極限的定義："若代表某變量的一串?dāng)?shù)值無限地趨向于某一固定值時(shí)，其差可以隨意小，則該固定值稱為這一串?dāng)?shù)值的極限。"這是到那時(shí)為止關(guān)于極限概念的最為清楚的定義，柯西關(guān)于分析學(xué)基礎(chǔ)的基本著作是：

①《分析教程》(1821年），

②《無窮小分析教程概論》(1823年），

③《微分計(jì)算教程》(1829年）。

通過這幾部著作，柯西奠定了以極限理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代分析學(xué)體系。當(dāng)然，用現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)來衡量，在柯西著作中的嚴(yán)格性是不夠的，如用了"無限地趨近"，"可以隨意小"之類的語句表述極限概念尚顯得模糊。后來，經(jīng)過狄利克雷、黎曼，特別是外爾斯特拉斯的工作，才使得分析學(xué)的現(xiàn)代形式終于完成。外爾斯特拉斯思想清晰，善于澄清數(shù)學(xué)中一些基本而又模糊的概念。

1856年，外爾斯特拉斯在柏林大學(xué)的一次講演中主張將分析學(xué)建立在算術(shù)概念的基礎(chǔ)上，提出了關(guān)于極限概念的"ε-δ"說法，對(duì)柯西的極限理論的敘述施以"ε-δ"語言。這樣，用"ε-δ"語言敘述分析學(xué)中一系列概念，如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分等，建立了現(xiàn)代分析學(xué)的嚴(yán)格體系。

1861年，外爾斯特拉斯構(gòu)造出一個(gè)處處連續(xù)但處處不可微的著名函數(shù)例子：

f(x)＝Σa↑ncos(b↑nπx)

其中0＜a＜1，b是奇數(shù)，并且ab＞1＋3*π/2。外爾斯特拉斯的這個(gè)例子對(duì)分析學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了很大影響，它推動(dòng)數(shù)學(xué)家去創(chuàng)造出更多的函數(shù)，這些函數(shù)雖具連續(xù)性卻并不蘊(yùn)涵可微性，以及函數(shù)可以具有各種各樣的反常性質(zhì)，其意義是重要的。它使得數(shù)學(xué)家更加不敢信賴直觀的思考了。

柯西藉助于極限理論為分析學(xué)奠定了基礎(chǔ)，外爾斯特拉斯在此基礎(chǔ)上又將分析學(xué)算術(shù)化，這并不表明分析學(xué)基礎(chǔ)的研究已經(jīng)終結(jié)。隨著分析學(xué)的概念精確化與體系嚴(yán)格化，使得數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到必須建立起嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論。因?yàn)榉治鰧W(xué)中的許多問題必須借助于實(shí)數(shù)才能解決，如極限理論，連續(xù)性與可微性等都與實(shí)數(shù)性質(zhì)相關(guān)，所以為了保證分析學(xué)結(jié)論的正確，應(yīng)當(dāng)把分析學(xué)理論完全建立在數(shù)的基礎(chǔ)上，這樣就要求有完整的實(shí)數(shù)理論。

1872年，戴德金出版了《連續(xù)性與無理數(shù)》，在這部著作中以有理數(shù)為基礎(chǔ)，用嶄新的方法定義了無理數(shù)，建立起了完整的實(shí)數(shù)理論，從而建立在極限理論基礎(chǔ)上的分析學(xué)形成了嚴(yán)密的理論體系。所以，1872年可以看作是分析學(xué)基礎(chǔ)完成的一年。

18世紀(jì)末到19世紀(jì)初建立了復(fù)數(shù)與其代數(shù)運(yùn)算的幾何表示，是復(fù)變函數(shù)理論建立的一個(gè)重要步驟。復(fù)變函數(shù)理論的研究對(duì)象是復(fù)變數(shù)的函數(shù)，柯西在建立嚴(yán)格的分析學(xué)理論的同時(shí)，為復(fù)變函數(shù)理論奠定了基礎(chǔ)。1814年，柯西在巴黎科學(xué)院宣讀了復(fù)變函數(shù)理論的第一篇重要論文《關(guān)于定積分理論的報(bào)告》(1827年發(fā)表），開創(chuàng)了復(fù)變函數(shù)理論的研究?？挛髟趶?fù)變函數(shù)理論領(lǐng)域作出了出色的貢獻(xiàn)，他給出了柯西——黎曼方程，定義了復(fù)函數(shù)沿復(fù)數(shù)域中任意路徑的積分，并得到了復(fù)函數(shù)沿復(fù)數(shù)平面上任意路徑積分的基本定理(即柯西積分定理），由此導(dǎo)出了著名的柯西積分公式上述定理和積分公式是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)?？挛鬟€定義了復(fù)變函數(shù)在極點(diǎn)處的留數(shù)，給出了計(jì)算留數(shù)的公式，以及建立了留數(shù)定理。

1826年，阿貝爾發(fā)表了《關(guān)于很廣的一類超越函數(shù)的一個(gè)一般性質(zhì)》的論文，開創(chuàng)了橢圓函數(shù)理論的研究。1829年，雅可比(1804-1851，德國(guó)）著《橢圓函數(shù)論新基礎(chǔ)》，奠定了橢圓函數(shù)理論的基礎(chǔ)。阿貝爾與雅可比創(chuàng)立的橢園函數(shù)理論可以說是復(fù)變函數(shù)理論在19世紀(jì)發(fā)展中最重要的成就之一。此外，外爾斯特拉斯等對(duì)此都作出了重要的貢獻(xiàn)。

1851年，黎曼在其博士論文《單復(fù)變函數(shù)的一般理論的基礎(chǔ)》中確立了單值解析函數(shù)的黎曼定義，特別是闡述了現(xiàn)稱為黎曼面的概念，以及共形映射定理，這一定理稱為黎曼映射定理，它成為復(fù)變函數(shù)的幾何理論的基礎(chǔ)。黎曼的這篇論文是復(fù)變函數(shù)理論的經(jīng)典性著作。

總之，在這一歷史時(shí)期復(fù)變函數(shù)理論已發(fā)展成為內(nèi)容豐富、理論完美、被稱為抽象學(xué)科中最為和諧的理論之一，它是19世紀(jì)數(shù)學(xué)中最為獨(dú)特的創(chuàng)造。