電子也會(huì)“排隊(duì)”走嗎？這個(gè)問(wèn)題困擾了物理學(xué)家數(shù)十年

認(rèn)真閱讀下面的文章，并思考文末互動(dòng)提出的問(wèn)題，嚴(yán)格按照互動(dòng)：你的答案格式在評(píng)論區(qū)留言，就有機(jī)會(huì)獲得由湖南科學(xué)技術(shù)出版社提供的優(yōu)質(zhì)科普書(shū)籍《人機(jī)對(duì)齊》。

量子霍爾效應(yīng)由克勞斯?馮?克利欽（Klaus von Klitzing）于 1980 年首次發(fā)現(xiàn)。他當(dāng)時(shí)正在研究一種早在約一百年前就由埃德溫?赫伯特?霍爾（Edwin Herbert Hall）觀測(cè)到的現(xiàn)象。

取一片金箔，施加垂直于金箔的磁場(chǎng)，并沿金箔某一方向通入恒定電流，接著在金箔的垂直方向就會(huì)產(chǎn)生電流 —— 這就是霍爾電流。

量子霍爾效應(yīng)：磁場(chǎng)（B）垂直于薄片。沿某一方向通入電流（I）時(shí)，會(huì)在垂直方向產(chǎn)生霍爾電流（U）。圖片來(lái)源：Ohewikiaccount, CC BY-SA 4.0

磁場(chǎng)強(qiáng)度決定了霍爾電流的導(dǎo)通難易度：磁場(chǎng)越強(qiáng)，霍爾電導(dǎo)（衡量導(dǎo)通難易度的物理量）就越低。逐步增大磁場(chǎng)強(qiáng)度，霍爾電導(dǎo)會(huì)隨磁場(chǎng)平穩(wěn)下降。

克利欽對(duì)一個(gè)問(wèn)題很好奇：若在極低溫環(huán)境下開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，此時(shí)電子不會(huì)因熱運(yùn)動(dòng)劇烈碰撞，會(huì)發(fā)生什么？他的發(fā)現(xiàn)震驚了學(xué)界：降低磁場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，霍爾電導(dǎo)不再平穩(wěn)下降，而是呈階躍式突變。這種物理量以離散臺(tái)階式變化的行為，是量子現(xiàn)象的典型特征。由于量子效應(yīng)通常無(wú)法在宏觀系統(tǒng)中觀測(cè)到，克利欽的發(fā)現(xiàn)意義非凡 —— 他讓量子效應(yīng)變得切實(shí)可見(jiàn)。

這是霍爾電導(dǎo)隨磁場(chǎng)變化的粗略曲線圖，展示了霍爾電導(dǎo)如何呈階躍式下降。

霍爾電導(dǎo)的量子化取值形式為：

其中e是電子電荷量，h是普朗克常數(shù)。因表達(dá)式中出現(xiàn)整數(shù)，該效應(yīng)被命名為整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。

然而故事并未結(jié)束。不久后，霍斯特?施特默（Horst St?rmer）和崔琦（Daniel Tsui）在更低溫度、更強(qiáng)磁場(chǎng)下，用極薄電子氣層完成了類(lèi)似實(shí)驗(yàn)。令人意外的是，他們?cè)诳死麣J實(shí)驗(yàn)的整數(shù)能級(jí)之間，觀測(cè)到了新的能級(jí)。這一效應(yīng)被稱(chēng)為分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)。

克利欽因發(fā)現(xiàn)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，獲得 1985 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)；霍斯特?施特默與崔琦和羅伯特?勞夫林（Robert B. Laughlin）共享 1998 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，下面我們將進(jìn)一步講述后者的故事。

走進(jìn)量子態(tài)

整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的精度極高，被用作電阻單位（電導(dǎo)的倒數(shù)）的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)。盡管它發(fā)生在宏觀系統(tǒng)中，卻能高精度測(cè)量單個(gè)電子的電荷量。

更神奇的是，這種高精度并非來(lái)自樣品的完美無(wú)缺，反而是源于雜質(zhì)。要理解這一點(diǎn)，我們需要先掌握最基礎(chǔ)的量子力學(xué)知識(shí)。經(jīng)典物理中，粒子（或整個(gè)粒子系統(tǒng)）在某一時(shí)刻的狀態(tài)由確定的物理量描述，比如粒子的位置和動(dòng)量。但量子力學(xué)的世界更為模糊：粒子可以同時(shí)處于多個(gè)位置、擁有多個(gè)動(dòng)量，只有測(cè)量時(shí)，才會(huì)坍縮到某一個(gè)確定結(jié)果。

粒子或系統(tǒng)的量子態(tài)，編碼了所有可能的狀態(tài)及其對(duì)應(yīng)的觀測(cè)概率。數(shù)學(xué)上，量子態(tài)常用波函數(shù)表示。當(dāng)我們說(shuō)一個(gè)量子態(tài)延展到空間某區(qū)域，意思是測(cè)量粒子位置時(shí)，它可能出現(xiàn)在該區(qū)域內(nèi)任意位置，但并不會(huì)出現(xiàn)在區(qū)域外。

量子力學(xué)的另一核心特征是前文提到的非連續(xù)性：原本通常被認(rèn)為連續(xù)變化的物理量，只能取分立值。

整數(shù)量子霍爾效應(yīng)：為何出現(xiàn)平臺(tái)？

解釋整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，我們首先要對(duì)付的量子特性就是離散性。實(shí)驗(yàn)中，待測(cè)樣品（例如霍爾本人所用的金箔）被置于強(qiáng)磁場(chǎng)中。磁場(chǎng)會(huì)改變材料內(nèi)部電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。特別地，電子運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的能量不能取任意值，只能取特定的離散值，這些能級(jí)被稱(chēng)為朗道能級(jí)。

物理學(xué)大神列夫?朗道的公開(kāi)照片

量子力學(xué)的另一條鐵律 ——泡利不相容原理指出，每個(gè)特定的朗道能級(jí)只能容納有限（盡管數(shù)量極大）的電子，該數(shù)量與磁場(chǎng)強(qiáng)度正相關(guān)：磁場(chǎng)越強(qiáng)，單個(gè)朗道能級(jí)可容納的電子越多。

理想材料中，每個(gè)電子都會(huì)占據(jù)其中一個(gè)特定的朗道能級(jí)，與之相對(duì)應(yīng)的量子態(tài)會(huì)延展至整個(gè)樣品，這使得所有電子都能參與導(dǎo)電。

然而，現(xiàn)實(shí)中沒(méi)有絕對(duì)理想的系統(tǒng)。真實(shí)材料（例如金箔）必然含有雜質(zhì)，它們會(huì)破壞朗道能級(jí)的精確性。雜質(zhì)附近的電子被允許存在于略低或略高于準(zhǔn)確朗道能級(jí)的能區(qū)。因此，每個(gè)朗道能級(jí)會(huì)展寬為具有一系列允許能量的朗道能帶。

雜質(zhì)雖拓寬了允許的能量范圍，卻也會(huì)束縛電子，將其運(yùn)動(dòng)限制在很小的臨近區(qū)域內(nèi)。處于這種局域態(tài)的電子無(wú)法參與導(dǎo)電，絕大多數(shù)電子都會(huì)被這樣束縛 —— 這就引出一個(gè)問(wèn)題：電流到底是如何流動(dòng)的？

答案藏在材料的邊緣（例如金箔的邊緣）。邊界會(huì)改變電子的允許運(yùn)動(dòng)方式，就像一條河的河岸會(huì)擾亂渦流并引導(dǎo)水流平穩(wěn)流動(dòng)一樣，樣品邊緣會(huì)引導(dǎo)電子沿單向路徑運(yùn)動(dòng)。電流正是通過(guò)這些邊緣通道傳輸。邊緣還會(huì)改變能級(jí)分布，讓朗道能級(jí) “向上彎曲”：越靠近邊緣，朗道能級(jí)的能量越高。

現(xiàn)在想象實(shí)驗(yàn)正常運(yùn)行，霍爾電流沿邊緣流動(dòng)。然后想象著去降低磁場(chǎng)強(qiáng)度。當(dāng)磁場(chǎng)變?nèi)酰總€(gè)朗道能帶能容納的電子數(shù)量減少——正如我們之前所說(shuō)，每個(gè)朗道能級(jí)電子的數(shù)量取決于磁場(chǎng)的強(qiáng)度。部分電子將無(wú)法在更低的能態(tài)找到占據(jù)空間，只能進(jìn)入原本無(wú)人認(rèn)領(lǐng)的高能態(tài)。

但是這些新增電子大多會(huì)進(jìn)入樣品內(nèi)部由雜質(zhì)造成的局域態(tài)。因?yàn)檫@些量子態(tài)無(wú)法參與導(dǎo)電，所以霍爾電導(dǎo)保持恒定，形成平臺(tái)。只有當(dāng)電子開(kāi)始占據(jù)新的非局域的擴(kuò)展態(tài)，也就是那些非局域狀態(tài)時(shí)，霍爾電導(dǎo)才會(huì)快速跳變到下一個(gè)平臺(tái)。

霍爾效應(yīng)家族譜。圖片來(lái)源[1]

整數(shù)量子霍爾效應(yīng)：為何是整數(shù)？

上文中解釋了霍爾電導(dǎo) - 磁場(chǎng)強(qiáng)度曲線中平臺(tái)的成因。但為何平臺(tái)恰好對(duì)應(yīng)e2/h的整數(shù)倍？1981 年，物理學(xué)家羅伯特?勞夫林（Robert B. Laughlin）想出了一套實(shí)驗(yàn)的理論模型設(shè)定，這使得他得以極致精準(zhǔn)地解析該系統(tǒng)。

在這個(gè)理論模型中，系統(tǒng)變成了某種意義上的量子泵。驅(qū)動(dòng)霍爾電流的電場(chǎng)，由緩慢穿過(guò)系統(tǒng)的磁通量產(chǎn)生（模型中假設(shè)系統(tǒng)有一個(gè)孔洞供磁通量穿過(guò)）。泵浦的一個(gè)周期，對(duì)應(yīng)穿過(guò)一份量子化的磁通量。在每個(gè)周期結(jié)束后，系統(tǒng)會(huì)恢復(fù)它從前的狀態(tài)。（用專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)說(shuō)，系統(tǒng)被稱(chēng)為哈密頓量的某種數(shù)學(xué)對(duì)象回到了初始值）。

計(jì)算表明：一個(gè)泵浦周期內(nèi)傳輸?shù)碾姾闪浚ㄒ詄為單位），就是系統(tǒng)的霍爾電導(dǎo)（以e2/h為單位）。要解釋霍爾電導(dǎo)為何是e2/h的精確整數(shù)倍，只需證明每個(gè)泵浦周期內(nèi)有相同數(shù)量的電子被傳輸。

這個(gè)結(jié)論在經(jīng)典物理中顯而易見(jiàn)：電子不可分割，只能以整數(shù)個(gè)傳輸，并且每個(gè)泵浦周期完全相同，因此每次傳輸?shù)碾娮訑?shù)必然是同一個(gè)整數(shù)。但量子世界更為模糊，所以需要更多的工作去展示實(shí)際上究竟發(fā)生了什么。當(dāng)你做這些計(jì)算時(shí)，你就會(huì)遇到一個(gè)來(lái)自拓?fù)鋵W(xué)（數(shù)學(xué)中的一個(gè)領(lǐng)域）的公式。你可以從數(shù)學(xué)上證明，該公式只能導(dǎo)出一個(gè)整數(shù)（即陳數(shù)，是由華人物理學(xué)家陳省身提出的一種拓?fù)洳蛔兞浚?。這一數(shù)學(xué)必然性保證了勞夫林泵浦模型中每個(gè)周期傳輸整數(shù)個(gè)電子，進(jìn)而解釋了霍爾電導(dǎo)的取值。

這就是數(shù)學(xué)與自然的完美交匯：霍爾電導(dǎo)的量子化背后，是陳數(shù)必為整數(shù)的數(shù)學(xué)鐵律！

拓?fù)錇槎?，?jiān)不可摧

盡管勞夫林的模型十分理想化，這段論證卻能解釋真實(shí)實(shí)驗(yàn)條件下，霍爾電導(dǎo)仍存在嚴(yán)格的量子化現(xiàn)象，也闡明了該現(xiàn)象是非常魯棒的：系統(tǒng)的微小擾動(dòng)（電子數(shù)、雜質(zhì)性質(zhì)、磁場(chǎng)變化），都不會(huì)讓霍爾電導(dǎo)偏離整數(shù)倍數(shù)值。因?yàn)殛悢?shù)能且只能是整數(shù)，即使你微調(diào)系統(tǒng)的各種細(xì)節(jié)，霍爾電導(dǎo)都無(wú)疑只能取特定值。

這種對(duì)微小擾動(dòng)的 “免疫力”，與拓?fù)鋵W(xué)（先前提到幫助我們導(dǎo)出陳數(shù)公式的那個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域）的核心思想高度契合。拓?fù)鋵W(xué)是更寬松的幾何學(xué)。只要不撕裂、不切割，能通過(guò)形變相互轉(zhuǎn)化的兩個(gè)形狀，拓?fù)渖暇褪堑葍r(jià)的。完美的球體與癟掉的足球拓?fù)涞葍r(jià)，以及甜甜圈與帶柄馬克杯也拓?fù)涞葍r(jià)。形狀的微小改變不會(huì)改變其拓?fù)漕?lèi)型，正如量子霍爾系統(tǒng)的微小擾動(dòng)不會(huì)改變它的霍爾電導(dǎo)。

球體與足球：球體與癟掉的足球拓?fù)涞葍r(jià)，因?yàn)闊o(wú)需切割、粘合即可將一方形變?yōu)榱硪环健?br/>

甜甜圈與馬克杯拓?fù)涞葍r(jià)，因?yàn)闊o(wú)需切割、粘合即可將一方形變?yōu)榱硪环?/p>

正因這種和拓?fù)鋵W(xué)的聯(lián)系（同時(shí)還有更深層的關(guān)聯(lián)），物理學(xué)家稱(chēng)霍爾電導(dǎo)是拓?fù)浔Ｗo(hù)的。

值得注意的是該系統(tǒng)還有一個(gè)關(guān)鍵特征：系統(tǒng)內(nèi)是絕緣體，電流僅沿邊緣流動(dòng)。但是你無(wú)法脫離整體的物理機(jī)制而去單獨(dú)研究邊緣的物理機(jī)制。邊緣的行為是整個(gè)系統(tǒng)物理規(guī)律的直接結(jié)果，這一現(xiàn)象被稱(chēng)為體邊對(duì)應(yīng)（bulk-edge correspondence）。

分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)

整數(shù)量子霍爾效應(yīng)得到了解釋?zhuān)欠謹(jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)呢？如前文所述，它發(fā)生在溫度更低且磁場(chǎng)更強(qiáng)的情況下。在霍爾電導(dǎo) - 磁場(chǎng)強(qiáng)度曲線中，新平臺(tái)出現(xiàn)在非e2/h整數(shù)倍的位置，實(shí)驗(yàn)中最常見(jiàn)的是e2/3h和2e2/5h，此外還有許多其他分?jǐn)?shù)臺(tái)階也被觀測(cè)到。

低溫環(huán)境下，電子間的相互作用變得至關(guān)重要。盡管這種相互作用始終存在，但高溫時(shí)的熱漲落會(huì)破壞其形成的脆弱集體量子態(tài)。然而在極低溫下，電子會(huì)組成高度關(guān)聯(lián)的多體系統(tǒng) ——量子流體，對(duì)外界擾動(dòng)的響應(yīng)表現(xiàn)為一個(gè)整體（量子流體具有顯著的量子糾纏，這是另一種經(jīng)典物理中不存在的現(xiàn)象）。

分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的其中一種解釋同樣來(lái)自勞夫林。當(dāng)系統(tǒng)最高朗道能級(jí)按特定填充率（如 1/3）部分填充時(shí)，系統(tǒng)會(huì)穩(wěn)定在具有最低能量的基態(tài)，也就是前文提到的高度關(guān)聯(lián)量子流體。一如從前，我們可以再次用泵浦模型論證：一個(gè)周期后，系統(tǒng)的哈密頓量仍會(huì)恢復(fù)初始值。

但描述系統(tǒng)整體狀態(tài)的哈密頓量雖復(fù)原，由波函數(shù)定義的精確量子態(tài)卻發(fā)生了改變——系統(tǒng)進(jìn)入了與初始不同的基態(tài)。若朗道能級(jí)填充率為1/3，需要3 個(gè)泵浦周期，系統(tǒng)才能回到最初的基態(tài)。將這 3 個(gè)周期視為整體，原始泵浦論證才依然成立：總共傳輸整數(shù)個(gè)電子。

那單個(gè)泵浦周期究竟發(fā)生了什么？答案是：傳輸了1/3的分?jǐn)?shù)電荷。既然電子不可分割，它們無(wú)法攜帶分?jǐn)?shù)電荷，因此這種電荷由量子流體的激發(fā)態(tài)攜帶。這些激發(fā)態(tài)的行為有些類(lèi)似在系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，這也是它們被稱(chēng)為準(zhǔn)粒子的原因。但是，它們并非是像電子一樣的獨(dú)立實(shí)體，而是量子流體對(duì)電磁場(chǎng)的集體響應(yīng)而涌現(xiàn)的產(chǎn)物。

霍爾電導(dǎo)仍由單個(gè)泵浦周期傳輸?shù)碾姾蓻Q定，它的數(shù)值此時(shí)是一個(gè)分?jǐn)?shù)。平臺(tái)（磁場(chǎng)變化范圍內(nèi)電導(dǎo)保持恒定）的成因與整數(shù)量子霍爾效應(yīng)一致：雜質(zhì)將低能準(zhǔn)粒子局域化，阻止其參與電荷輸運(yùn)。和之前一樣，系統(tǒng)同樣對(duì)小的變化具備魯棒性：霍爾電導(dǎo)受拓?fù)浔Ｗo(hù)。

這里所提到的準(zhǔn)粒子被稱(chēng)為任意子（anyon），該名字由諾貝爾獎(jiǎng)得主弗蘭克?維爾切克（Frank Wilczek）提出。它源自單詞 “anyone”（意為任何人），暗指任意子不屬于兩類(lèi)常規(guī)粒子所屬類(lèi)別中的任何一類(lèi)（即費(fèi)米子和玻色子）。

量子霍爾效應(yīng)遠(yuǎn)不只是一個(gè)奇特的物理現(xiàn)象。當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度讓霍爾電導(dǎo)處于平臺(tái)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出全新的物質(zhì)特性 —— 準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，它代表一種物質(zhì)的拓?fù)湎?。這類(lèi)拓?fù)湎嘤兄@人的應(yīng)用前景，比如在量子計(jì)算領(lǐng)域。

參考文獻(xiàn):

[1]. von Klitzing, K., Chakraborty, T., Kim, P. et al. 40 years of the quantum Hall effect. Nat Rev Phys 2, 397–401 (2020). https://doi.org/10.1038/s42254-020-0209-1

作者：Marianne Freiberger

翻譯：Wonder

審校：姬子隰

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今天我們將送出由湖南科學(xué)技術(shù)出版社提供的《人機(jī)對(duì)齊》。

當(dāng)AI的能力和影響力越大，引發(fā)潛在風(fēng)險(xiǎn)和倫理問(wèn)題的可能性也就越高。研究人員稱(chēng)之為對(duì)齊問(wèn)題。本書(shū)作者生動(dòng)講述了對(duì)齊問(wèn)題將如何對(duì)人類(lèi)未來(lái)產(chǎn)生決定性影響，并生動(dòng)描繪了機(jī)器學(xué)習(xí)的發(fā)展史，呈現(xiàn)AI最前沿的進(jìn)展。

【互動(dòng)問(wèn)題：在量子霍爾效應(yīng)里，正是材料里那些看似糟糕的‘雜質(zhì)’和‘缺陷’，反而促成了完美的拓?fù)浔Ｗo(hù)狀態(tài)。在你的工作、學(xué)習(xí)或生活中，有沒(méi)有遇到過(guò)類(lèi)似‘壞事變好事’，或者某個(gè)看似是‘缺點(diǎn)/失誤’的地方，最后反而成就了完美結(jié)果的經(jīng)歷？】

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截止到本周四中午12：00，參與互動(dòng)的留言中點(diǎn)贊數(shù)排名第二、三、五的朋友將獲得我們送出的圖書(shū)一套（點(diǎn)贊數(shù)相同的留言記為并列，并列的后一名次序加一，如并列第二的后一位讀者記為第三名，以此類(lèi)推）。

為了保證更多的朋友能夠參與獲獎(jiǎng)，過(guò)往四期內(nèi)獲過(guò)獎(jiǎng)的朋友不能再獲得獎(jiǎng)品，名次會(huì)依次順延

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編輯：姬子隰

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