量子力學數學基礎

MATHEMATICAL FOUNDATIONS OF QUANTUM MECHANICS

量子力學數學基礎

前言

1933年，約翰·馮·諾依曼 [1903年12月28日 – 1957年2月8日] 成為高等研究院（Institute for Advanced Study）的創始教員（與阿爾伯特·愛因斯坦和奧斯瓦爾德·維布倫一起，庫爾特·哥德爾為訪問成員），并在那里度過了余生。下列紀念文章的杰出作者是1949年和1952-1954年的成員，當時有機會與馮·諾依曼 personally acquainted（熟人/結識）。該文章（經許可）摘自《美國數學學會通報》（Bulletin of the American Mathematical Society）第64卷，第3期，第2部分（1958年5月）第95-99頁，該期129頁的全部內容都致力于對馮·諾依曼在八個不同學科領域貢獻的專家綜述。

馮·諾依曼對量子理論的貢獻LéON VAN HOVE

馮·諾依曼作為量子力學的“卓越”數學家，對現在的每一位物理學家來說，就像四分之一世紀前一樣顯而易見。量子力學確實非常幸運，在1925年發現后的最初幾年里，就吸引了像馮·諾依曼這樣具有數學天才 stature（地位/ stature）的人的興趣。結果，該理論的數學框架得以發展，其全新解釋規則的形式方面在兩年時間（1927-1929）內由一個人進行了分析。相反，人們幾乎可以說作為回報，量子力學將馮·諾依曼引入了一個數學調查研究領域——算子理論（operator theory），并在那里取得了一些最顯著的成就。

馮·諾依曼對量子力學的主要貢獻是他對理論數學框架的發展以及他對量子統計、量子測量過程及其相互關系的形式研究。雖然后者的研究在1927年已基本完成（除了1929年的量子遍歷定理），但關于量子力學數學基礎的工作在1929年隨著希爾伯特空間中超極大對稱算子（hypermaximal symmetric operators）的譜定理（spectral theorem）達到了頂峰。在接下來的兩段中，我們將討論這些主要貢獻。

量子理論的數學框架。 到馮·諾依曼開始研究量子力學形式框架時，該理論已知有兩種不同的數學表述：海森堡、玻恩和約爾的“矩陣力學”，以及薛定諤的“波動力學”。這些表述的數學等價性已由薛定諤建立，并且它們都被作為特例嵌入到狄拉克和約爾發展的一般形式體系中，通常稱為“變換理論”（transformation theory）。然而，這種形式體系相當笨拙，并且受到其對定義不明確的數學對象——著名的狄拉克δ函數及其導數——的依賴的阻礙。盡管馮·諾依曼最初在與希爾伯特和諾德海姆 [1] 的合作中試圖沿類似路線闡明該形式體系，但他很快意識到，希爾伯特空間及其線性算子 [2] 的抽象公理化理論提供了一個自然得多的框架。這種量子力學的數學表述，即物理系統的狀態由希爾伯特空間向量描述，可測量量由作用在其上的厄米算子（Hermitian operators）描述，確實非常成功。在其本質上保持不變的情況下，它經受住了量子理論隨后要經歷的兩個重大擴展：粒子的相對論量子力學（狄拉克方程）和場的量子理論。

當然，人們可能會指出，狄拉克的δ函數及其導數，雖然在引入時定義不明確，但自那以后在 L. 施瓦茨（L. Schwartz）的分布理論中已被認可為真正的（bona fide）數學實體。這完全是真的，而且這些函數在量子理論的發展過程中一直被物理學家連續使用，特別是在過去二十年中用于研究散射過程和量子化場。每當考慮具有連續譜的算子時，δ函數已確立自己為自然工具。然而，這絲毫不影響公理化定義的可分希爾伯特空間是我們今天所知的量子力學形式體系的合適框架這一事實，而對這一事實的認識我們要歸功于馮·諾依曼。

希爾伯特空間量子理論表述的一個本質特征是，最重要的物理量（如位置、動量或能量）由無界厄米算子（unbounded Hermitian operators）表示。由于測量的理論預測本質上依賴于表示物理量的算子的譜分解（spectral resolution），馮·諾依曼在他最初的調查 [2] 中，就面臨著將已知的有界厄米算子譜理論擴展到無界情況的問題。到1929年，他已將此問題 brought to a complete solution [3]（徹底解決）。他引入了超極大對稱算子（hypermaximal symmetric operator）這一至關重要的概念，即具有譜分解的最一般的厄米算子。這項工作，其結果由 M. H. Stone [4] 獨立完成，對馮·諾依曼來說，是開始了一系列關于希爾伯特空間中線性算子的漫長研究的起點。

量子理論的統計方面。 在他利用希爾伯特空間的向量和算子表述量子力學的過程中，馮·諾依曼還給出了該理論的基本統計解釋規則的完整概括。這條規則涉及對處于給定量子態的系統測量給定物理量的結果，并通過一個簡單且如今已完全為人熟知的公式表達其概率分布，該公式涉及代表狀態的向量和代表物理量的算子的譜分解 [2]。這條規則最初由玻恩（Born）于1926年提出，對馮·諾依曼而言，這是完全用概率術語對量子力學進行數學分析的起點。這項分析是在1927年的一篇論文 [7] 中進行的，它引入了統計矩陣的概念，用于描述不一定都處于同一量子態的系統系綜。統計矩陣（現在常稱為 ρ -矩陣，盡管馮·諾依曼當時的符號是 U ）已成為量子統計的主要工具之一，正是通過這一貢獻，馮·諾依曼的名字甚至為那些最缺乏數學頭腦的物理學家所熟知。

在同一篇論文中，馮·諾依曼還研究了一個至今仍是許多討論主題的問題；即，量子力學測量過程及其所涉及的非因果元素的理論描述。從數學上講，馮·諾依曼對這一微妙問題的研究相當優雅。它為眾多研究提供了一個清晰的形式框架，這些研究是為了從物理上闡明量子現象對物理測量本質至關重要的含義，其中最重要的是尼爾斯·玻爾（Neils Bohr）的互補性概念。

剛才討論的論文的結果立即被作者用來為量子熱力學奠定基礎 [8]。他給出了著名的經典熵公式的量子類比：

他進一步寫下了溫度為 T T 的正則系綜的密度矩陣：

其中 H H 是哈密頓算子。兩年后，馮·諾依曼帶著對量子熱力學的貢獻回歸，著手解決一個更困難的問題：量子系統遍歷定理的表述和證明 [9]。這項工作的基本原理是通過考慮那些所有宏觀量都以一定不精確度取給定值的量子態集合，來定義相空間中“胞腔”（cells）的量子類比。人們進一步考慮將這些量子態與哈密頓量的本征態聯系起來的酉變換 u u。然后，對于變換 u u 的“幾乎每一個”值建立了遍歷性。雖然后一個限制從物理角度來看相當令人不滿意，但必須將馮·諾依曼的遍歷定理視為對這一最困難課題的極少數重要貢獻之一，該課題即使到現在也遠未得到完全澄清。

我們簡要回顧的大部分工作已被作者以大大擴展的形式重新出版為一本書，該書迅速成為并仍然是量子力學數學基礎的標準著作 [10]，[本書即為該書的英譯本]。馮·諾依曼在他的書中對一點給予了相當多的關注，這一點在1927年的論文中未曾討論，后來成為許多爭議的主題。這就是關于“隱變量”可能存在的問題，考慮這些變量將消除測量過程中涉及的非因果元素。馮·諾依曼能夠證明，如果保留量子理論的基本結構，具有這種性質的隱參數是不可能存在的。盡管他明確提到了后一個限制，? 但他的結果經常被引用而沒有適當提及這一點，這一事實在多年來致力于量子理論完全確定性重構可能性的許多討論中，有時引發了不公正的批評。

其他貢獻。 正如馮·諾依曼的完整書目所顯示的那樣，他還寫了不少關于量子力學的其他論文，通常是與物理學家合作，特別是與維格納（Wigner）。這些論文大多涉及技術性問題，且上述主要貢獻的重要性如此卓越，以至于相比之下，其他論文的范圍顯得 modest（有限）。只有一個廣泛的課題我們要在此提及，因為馮·諾依曼顯然對其進行了深思熟慮，并在1934年和1936年多次回歸該主題（與約爾丹、維格納和加勒特·伯克霍夫合作）。這就是量子力學的代數和邏輯結構問題，人們希望通過抽象分析達到對公認理論的可能推廣。沒人知道這種希望是否有根據，但這無疑是一種自然的希望，并且它吸引了許多其他人，這再次證明了馮·諾依曼思想的力量和獨創性。

引言

本書旨在以一種統一的表述來呈現新量子力學，這種表述在可能且有用的范圍內，力求數學上的嚴謹。這種新量子力學近年來在其本質部分已經達到了大概是確定的形式：即所謂的“變換理論”（transformation theory）。因此，主要重點將放在與該理論相關的一般性和基本問題上。特別是，解釋方面的難題（其中許多甚至至今尚未完全解決）將被詳細探討。在這方面，量子力學與統計學以及經典統計力學的關系具有特殊的重要性。然而，作為一般規則，我們將省略任何關于量子力學方法應用于特定問題的討論，以及任何關于從一般理論導出的特殊理論的討論——至少在不危及對一般關系理解的前提下是這樣。鑒于關于這些問題的幾部優秀論著要么已經出版，要么正在出版過程中，這似乎更為可取。

另一方面，將給出為本理論目的所必需的數學工具的陳述，即希爾伯特空間（Hilbert space）理論和所謂的厄米算子（Hermitian operators）理論。為此，對無界算子（unbounded operators）的準確介紹也是必要的，即對該理論超出其經典界限的擴展（由 D. Hilbert, E. Hellinger, F. Riesz, E. Schmidt, O. Toeplitz 發展）。關于這種處理方式所采用的方法，可以說以下幾點：作為一般規則，計算應使用算子本身（代表物理量）進行，而不是使用矩陣，后者是在希爾伯特空間中引入（特殊的且任意的）坐標系后由算子導出的。這種“無坐標的”（coordinate free），即不變的（invariant）方法，憑借其強烈的幾何語言，具有明顯的形式上的優勢。

第一章導論性思考

1. 變換理論的起源

此處并非詳述量子理論在1900年至1925年間取得的巨大成功的場合，那是一個由普朗克（Planck）、愛因斯坦（Einstein）和玻爾（Bohr）的名字所主導的發展時期。在這一發展時期結束時，毫無疑問地清楚的是，所有基本過程，即所有原子或分子數量級的事件，都服從量子的“不連續”定律。幾乎在所有方向上都有了定量的量子理論方法，這些方法在大多數情況下得出的結果與實驗吻合良好或至少相當吻合。而且，從根本上說更為重要的是，理論物理學界的普遍觀點已經接受了這樣一種思想：即在宏觀世界中盛行的連續性原則（“natura non facit saltus”，即自然不飛躍），僅僅是由一個本質上因其本性而不連續的世界中的平均過程所模擬出來的。這種模擬是如此逼真，以至于一個人通常同時感知到數十億個基本過程的總和，因此大數平均律完全掩蓋了單個過程的真實本性。

盡管如此，直到上述時期為止，并不存在一個數理物理的量子理論體系能夠體現當時已知的一切并將其納入一個統一的結構中，更不用說展現出力學、電動力學和相對論體系（該體系曾被量子現象所破壞）所具有的那種宏偉的堅固性了。盡管量子理論聲稱具有普適性（這一點顯然已被證實），但缺乏必要的形式和概念工具；存在的只是一堆本質不同、相互獨立、異質且部分相互矛盾的碎片的混合體。在這方面最引人注目的幾點是：對應原理（correspondence principle），它一半屬于經典力學和電動力學（但在問題的最終澄清中起了決定性作用）；光的自相矛盾的二重性（波動性和微粒性，參見注5和注148）；最后，未量子化（非周期）運動和量子化（周期或多周期）運動的同時存在。

1925年帶來了解決方案。由海森堡（Heisenberg）發起的一種程序，由玻恩（Born）、海森堡、約爾丹（Jordan）以及稍后的狄拉克（Dirac）發展成了一個新的量子理論體系，這是物理學擁有的第一個完整的量子理論體系。稍后，薛定諤（Schr?dinger）從一個完全不同的出發點發展了“波動力學”（wave mechanics）。這達成了同樣的目的，并很快被證明等同于海森堡、玻恩、約爾丹和狄拉克的體系（至少在數學意義上，參見下文的3和4）。基于玻恩對量子理論自然描述的統計解釋，狄拉克和約爾丹得以將這兩種理論合二為一，即“變換理論”（transformation theory），在該理論中，他們使得對物理問題的把握在數學上變得特別簡單。

應當提及（盡管這不屬于我們的特定主題），在古德斯米特（Goudsmit）和烏倫貝克（Uhlenbeck）發現了電子的磁矩和自旋之后，早期量子理論的幾乎所有困難都消失了，以至于今天我們擁有一個幾乎完全令人滿意的力學體系。誠然，前文提到的與電動力學和相對論的巨大統一尚未恢復，但至少存在一種普遍有效的力學，其中量子定律以自然且必要的方式融入，并且令人滿意地解釋了我們要進行的絕大多數實驗。

2. 量子力學的原始表述

為了獲得對問題的初步看法，讓我們簡要闡述海森堡-玻恩-約爾丹（Heisenberg-Born-Jordan）“矩陣力學”和薛定諤（Schr?dinger）“波動力學”的基本結構。

（這個 H H 就是哈密頓函數。）在這兩種理論中，我們現在必須盡可能多地從這個哈密頓函數中了解系統的真實，即量子力學的，行為。因此，首先，我們必須確定可能的能級，然后找出相應的“定態”（stationary states），并計算“躍遷概率”（transition probabilities）等。

我們看到，這兩種理論的初始概念和實際方法存在相當大的差異。盡管如此，從一開始它們就總是得出相同的結果，即使在兩者給出的細節都與舊量子論概念不同的地方也是如此。正如在 I.1 中提到的，這種非凡的情況很快就被薛定諤關于它們數學等價性的證明所澄清。我們將把注意力轉向這個等價性證明，并同時闡述狄拉克-約爾丹的一般變換理論（該理論結合了這兩種理論）。

3. 兩種理論的等價性：變換理論

不是一個對角矩陣。那么正確的解表示為以下形式：

4. 兩種理論的等價性：希爾伯特空間

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