隨機(jī)動(dòng)力學(xué)讀書(shū)會(huì)丨第五期：Fokker-Planck 方程（下）

導(dǎo)語(yǔ)

從一維的隨機(jī)過(guò)程到高維空間中的隨機(jī)過(guò)程的推廣中，由于空間結(jié)構(gòu)的本質(zhì)改變，因此增加了很多有趣的性質(zhì)。 本期讀書(shū)會(huì)為隨機(jī)動(dòng)力學(xué)讀書(shū)會(huì)第五期，北京工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)與力學(xué)學(xué)院副研究員諸葛昌靖將在上一講一維 Fokker-Planck 方程的基礎(chǔ)上，繼續(xù)介紹多維 Fokker-Planck 方程并簡(jiǎn)要匯總梳理前幾次讀書(shū)會(huì)的理論內(nèi)容。

集智俱樂(lè)部聯(lián)合北京工業(yè)大學(xué)諸葛昌靖老師和北京化工大學(xué)王利老師共同發(fā)起。采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領(lǐng)大家系統(tǒng)研讀隨機(jī)過(guò)程領(lǐng)域的兩部經(jīng)典著作，主讀文獻(xiàn)《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》 ，輔助文獻(xiàn)《Stochastic Processes in Physics and Chemistry》，通過(guò)物理直覺(jué)啟發(fā)與數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)的交織，助力參與者構(gòu)建完整的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)和知識(shí)體系。

報(bào)告簡(jiǎn)介

本次讀書(shū)會(huì)在上一講基礎(chǔ)上，討論多維 Fokker-Planck 方程及概率流在高維空間中的散度結(jié)構(gòu)和平穩(wěn)態(tài)解存在性等問(wèn)題。通過(guò)引入細(xì)致平衡探討對(duì)稱性約束，并以此為基礎(chǔ)得到 Onsager 倒易關(guān)系等內(nèi)容。還將介紹描述相空間中軌道動(dòng)力學(xué)的 Kramers 方程。最后，通過(guò)單步過(guò)程與化學(xué)主方程等內(nèi)容為例展示從概率分布到平均方程等方面的應(yīng)用。

分享大綱

1. 多維 Fokker-Planck 方程

2. 細(xì)致平衡與 Onsager 倒易關(guān)系

3. 相空間動(dòng)力學(xué)與 Kramers 方程

4. 單步過(guò)程與化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)

5. 其他應(yīng)用

核心概念

概念一 多維Fokker-Planck方程

概念：描述高維狀態(tài)空間中擴(kuò)散 Markov 過(guò)程概率密度演化的偏微分方程。在數(shù)學(xué)語(yǔ)境中通常被稱為 Kolmogorov 前向方程。

概念二 細(xì)致平衡

概念：細(xì)致平衡是平穩(wěn) Markov 過(guò)程在時(shí)間反演下的一種對(duì)稱性。即系統(tǒng)的概率流在任何兩個(gè)微觀態(tài)之間互相抵消。

概念三 Onsager倒易關(guān)系

概念：在線性不可逆過(guò)程的穩(wěn)態(tài)附近，通量與熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)的線性耦合矩陣 L 滿足 Lij = εiεj Lji。

性質(zhì)：該關(guān)系可由細(xì)致平衡直接推導(dǎo)，證明不同輸運(yùn)過(guò)程的交叉效應(yīng)受時(shí)間反演對(duì)稱性約束。

應(yīng)用：Onsager關(guān)系是線性非平衡熱力學(xué)的基石，用于解釋熱電效應(yīng)等交叉輸運(yùn)現(xiàn)象，并穩(wěn)固支撐漲落耗散定理，例如Nyquist公式中噪聲強(qiáng)度由耗散元件和溫度唯一確定。

概念四 Kramers方程

定義：Kramers 方程是一種特殊的多維 Fokker-Planck 方程，描述粒子在力場(chǎng)中位置 y 和速度 u 的聯(lián)合概率演化。經(jīng)標(biāo)度化后其形式為

性質(zhì)：該方程完整保留了粒子的慣性項(xiàng)和速度弛豫項(xiàng)，屬于欠阻尼動(dòng)力學(xué)。

應(yīng)用：Kramers 方程是處理勢(shì)壘逃逸問(wèn)題的核心框架，為計(jì)算化學(xué)反應(yīng)速率提供微觀動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)，能夠給出Arrhenius 因子及其前因子，廣泛應(yīng)用于轉(zhuǎn)移速率的分析。

概念五 化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)

概念：化學(xué)反應(yīng)隨機(jī)性源于分子間偶然碰撞，進(jìn)而構(gòu)建描述分子數(shù)概率演化的化學(xué)主方程。

性質(zhì)：轉(zhuǎn)移概率 W 與反應(yīng)物分子的可能組合方式成正比。在系統(tǒng)規(guī)模 Ω 趨于無(wú)窮的極限下，離散的隨機(jī)主方程會(huì)收斂于確定性的宏觀速率方程。

應(yīng)用：可以將復(fù)雜的離散主方程近似為宏觀方程加上線性高斯?jié)q落，即線性噪聲近似，從而定量分析化學(xué)系統(tǒng)中的噪聲分布與平穩(wěn)態(tài)性質(zhì)。

主講人介紹

主講人：諸葛昌靖，北京工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)與力學(xué)學(xué)院副研究員，清華大學(xué)數(shù)學(xué)博士，研究方向：計(jì)算系統(tǒng)生物學(xué)。致力于數(shù)學(xué)與生物醫(yī)學(xué)的交叉研究，聚焦癌癥的演化機(jī)制及放化療、血液病、網(wǎng)絡(luò)藥理學(xué)及傳染病等復(fù)雜生物醫(yī)學(xué)問(wèn)題的多尺度動(dòng)力學(xué)建模與分析。

時(shí)間信息

2026年5月7日（周四）晚19:30-21:30,騰訊會(huì)議線上進(jìn)行,微信視頻號(hào)+集智俱樂(lè)部B站號(hào)同步直播, 感興趣的朋友掃碼報(bào)名加入隨機(jī)動(dòng)力學(xué)讀書(shū)會(huì)后，可進(jìn)入學(xué)員群進(jìn)行交流。

報(bào)名讀書(shū)會(huì)：「隨機(jī)動(dòng)力學(xué)」

本次讀書(shū)會(huì)由諸葛昌靖、王利兩位老師共同發(fā)起，采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領(lǐng)大家系統(tǒng)研讀隨機(jī)過(guò)程領(lǐng)域的兩部經(jīng)典著作，通過(guò)物理直覺(jué)與嚴(yán)謹(jǐn)理論的交織，助力參與者構(gòu)建完整的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)知識(shí)體系。讀書(shū)會(huì)將于2026年4月9日起每周四晚上（創(chuàng)建讀書(shū)會(huì)暫定時(shí)間為19:30-21:30）線上開(kāi)展，持續(xù)約10周，包含主講分享與討論交流，并提供會(huì)后視頻回放，誠(chéng)邀相關(guān)領(lǐng)域研究者及跨學(xué)科興趣者參與。

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