32歲拿下菲爾茲獎，喜鉆冷門的法爾廷斯如今又斬獲阿貝爾獎

挪威當地時間3月19日12時，2026年度阿貝爾獎揭曉。德國馬克斯·普朗克數學研究所教授格爾德·法爾廷斯（Gerd Faltings）“因在算術幾何領域引入強有力的工具，并解決了莫德爾與蘭關于丟番圖方程的長期懸而未決的猜想”（for introducing powerful tools in arithmetic geometry and resolving long-standing diophantine conjectures of Mordell and Lang.），而獲此殊榮。

法爾廷斯最為人熟知的是他29歲時證明了困擾數學界半個多世紀的莫德爾猜想，因而摘取了1986年的菲爾茲獎。后來，他又贏得了萊布尼茲獎和邵逸夫獎等榮譽。

法爾廷斯是算術幾何領域的泰斗級人物。他的思想與研究成果重塑了這一領域，在攻克多項長期懸而未決的重大猜想的同時，也建立起了全新的理論框架，指引了隨后數十年的學術研究方向。

法爾廷斯獲知自己得獎的一幕頗具戲劇性。挪威科學與文學院方面與法爾廷斯的同事合謀，把他“騙”到同事的辦公室，然后宣布了這一消息。法爾廷斯的第一反應是“很意外，完全沒想到。”然后他立即恢復了老派學者的謙遜和幽默感，說：“我不常和國王一起吃飯（注：阿貝爾獎得主將會出席由挪威王室在王宮舉行的慶祝晚宴，并與國王及王室成員共進晚餐），這對我來說很新鮮。我老了，原以為自己早過了拿這類獎的年紀，但現在看來還沒過。我猜我得去租件燕尾服了。”

阿貝爾獎與菲爾茲獎、沃爾夫數學獎并稱國際數學界“三大獎”。其設立的初衷之一是為了彌補數學界沒有諾貝爾獎的遺憾。該獎由挪威政府資助，獎金為750萬挪威克朗（約合540萬元人民幣）。

撰文 | 張和持

從萊茵河畔的繁華都市杜塞爾多夫出發，乘火車往東行駛半小時，就來到了丘陵中的小城伍珀塔爾（Wuppertal）。城市隱藏在山谷之中，旅客可以搭上著名的懸掛列車俯瞰靜謐的伍珀河。不過除了這條歷史悠久的列車軌道之外，伍珀塔爾似乎再也沒有什么名勝能讓人駐足。疲倦的游人紛紛回到火車站，啟程前往下一個目的地。

小城伍珀塔爾的懸掛火車 | 筆者攝于2023年

讓我們避開人流，從火車站往南，經過樹林間漫長的階梯，登上河畔的小山丘。樹林的盡頭，坐落著伍珀塔爾大學。德國第一位菲爾茲獎得主格爾德·法爾廷斯（Gerd Faltings）就是在這里完成了莫德爾猜想（Mordell conjecture）的證明。那一年是1983年，他僅僅 29 歲。3年后，他獲得數學領域最高獎項之一“菲爾茲獎”。

法爾廷斯 1954 年出生在德國小城蓋爾森基興（德語：Gelsenkirchen），1972年進入明斯特大學攻讀數學與物理。其父母分別擁有物理學和化學博士學位，在此影響下他本人也對物理產生了濃厚的興趣。不過，大學教育讓法爾廷斯開始更傾心于數學，因為絕對的正確性讓他不需要關心別人的看法。在代數幾何學家漢斯-約阿希姆·納斯托爾德（Hans-Joachim Nastold）的指導下，法爾廷斯于 1978 年僅24歲便獲得數學博士學位，畢業后的 1978 年到 1979 在哈佛大學擔任博士后研究員，接著回到明斯特大學擔任助理教授，并于 1981 年獲得特許任教資格。隨后的 1982 年到 1984 年，他前往伍珀塔爾大學擔任教授。

法爾廷斯身材修長而清瘦，略有駝背。加上獨來獨往、沉默寡言的性格，很容易讓人敬而遠之。他本人卻很享受這樣自得其樂的生活。

筆者2023年曾在荷蘭萊頓召開的一個數學會議上看到法爾廷斯。會后用餐時，與他同坐一桌的一位荷蘭教授就只跟他說了一次話，問他德國博士生對導師應該稱呼du還是Sie，他回答說Sie。然后荷蘭教授就開始跟別人聊天，法爾廷斯再也沒有說一句話。

法爾廷斯在荷蘭萊頓的學術會議后來到用餐地準備用餐 | 筆者攝于2023年

2015年獲得邵逸夫獎后，法爾廷斯接受了采訪。面對鏡頭，他開心地向記者展示自己的紅酒收藏，又毫不吝嗇地表達對古典音樂的喜愛。當談到數學時，法爾廷斯說自己喜歡的通常是不那么熱門的方向，這樣他就不必與別人競爭。面對常人認為遙不可及的問題，法爾廷斯反而感到興奮。有時問題會很難，以至于只有 10% 的成功幾率，但是仍然可以動手去做，這就是法爾廷斯的熱情所在。

毫無疑問，莫德爾猜想就是這樣困難又值得去做的問題。在伍珀塔爾，法爾廷斯度過了 18 個月與世隔絕的生活，最終完成了猜想的證明。

莫德爾定理與猜想

莫德爾猜想是英國數學家路易斯·莫德爾（Louis J. Mordell）提出的經典問題。莫德爾本人是一名數論學家，他在 1922 年證明了莫德爾定理（Mordell's theorem）：

若E為?上的橢圓曲線，則其有理點E(?)構成有限生成阿貝爾群。

所謂橢圓曲線，是形如y^2=x^3?x或者y^2=x^3+1這樣的方程決定的曲線。橢圓曲線上有自然的群結構，而莫德爾定理告訴我們，只需要有限個曲線上的有理點，就可以通過群運算生成出所有的有理點。這個結論不僅僅是純數學的成就，也被廣泛應用于現代密碼學。

如果考慮復數點，那么可以把橢圓曲線畫成一個環面：

環面只有一個洞，我們說E的虧格為g(E)=1。那對于更多的洞，也就是更高的虧格，會有什么樣的結論呢？

莫德爾經過一些計算，在同一年提出了所謂的莫德爾猜想：

若C為?上的代數曲線，且虧格滿足g(C)>1，則其有理點C(?)為有限集合。

莫德爾猜想的適用范圍非常廣泛。例如費馬大定理需要證明

x^n+y^n=z^n,?n≥3

沒有非平凡有理數解（等價于整數解），這個解集也相當于是代數曲線（稱為費馬曲線）的有理點，而該曲線的虧格為

當n≥4時虧格>1。也就是說，即便費馬大定理錯了，對于n≥4的每種情況只有可能存在有限個反例。雖然這并不能用于證明費馬大定理，但在 1980 年代，莫德爾猜想的證明無疑讓數學家們對費馬大定理更有信心。

莫德爾猜想→法爾廷斯定理

莫德爾猜想被證明后，就叫做了“法爾廷斯定理”。法爾廷斯面對的挑戰要遠超莫德爾的想象。莫德爾定理的證明有兩個要點：

• 使用高度（Height）這一概念來描述橢圓曲線中的點，對于任意給定的值，只存在有限個點的高度小于這個值。
• 橢圓曲線的撓群（Torsion group），并且證明E(?)/2E(?)為有限群?？梢哉f撓群被用來控制高度。

莫德爾的方法非常富有技巧性，這也意味著很難把同樣的概念照搬到更高虧格的情況。對此，法爾廷斯吸收了當時的兩項前沿理論：

• 阿拉克洛夫幾何（Arakelov geometry）。這是算數概型的理論，法爾廷斯借用其中最簡單的情況定義了法爾廷斯高度（Faltings Height）。
• p-可除群（p-divisible group）。某種意義上可以理解為p-冪階撓群的極限。它代替撓群，用來控制法爾廷斯高度。

即便有了大致的框架，證明也還差了十萬八千里。擺在法爾廷斯面前的是兩項難題：

• 泰特猜想的阿貝爾簇版本。這涉及到伽羅瓦表示與平展上同調。
• 沙發列維奇猜想。這涉及到對阿貝爾簇的同構類計數。

最終完成的證明完全由德文寫成[1]，這篇論文以及法爾廷斯之后的所有工作都被公認為結構化數學寫作的典范。

菲爾茲獎之后

完成莫德爾猜想的證明后，法爾廷斯前往普林斯頓大學擔任教授，并于 1986 年獲得菲爾茲獎。其間帶出了邁克爾·拉爾森（Michael J. Larsen）、望月新一等著名數學家。張壽武在普林斯頓期間也曾得到法爾廷斯指導。與此同時，法爾廷斯也在繼續推進自己的數學。

在最初的莫德爾猜想證明中，法爾廷斯只用到了非?；A的阿拉克洛夫幾何。1991年，數學家保羅·沃伊塔（Paul Alan Vojta）利用丟番圖逼近與阿拉克洛夫幾何給出了莫德爾猜想的全新證明[2]。不同于法爾廷斯，沃伊塔使用了阿拉克洛夫幾何中的整套算數曲面相交論。法爾廷斯讀完論文非常高興，他感到阿拉克洛夫幾何前途無限寬廣，并在同一年用新的方法證明了莫德爾猜想的一種推廣形式。除此之外，法爾廷斯不斷推進著阿拉克洛夫幾何的方方面面，如今任何一本阿拉克洛夫幾何的教科書都離不開他的名字。

對法爾廷斯高度的研究，帶來了一個很困難的領域，那就是模空間的緊化（Compactification of moduli space）。阿拉克洛夫幾何的研究很大一部分在于算數概型的相交論（Intersection theory of arithmetic scheme），但是相交論只有在緊空間上才有良好的定義。這方面的參考資料寥寥無幾，唯一的權威著作便是法爾廷斯和翟敬立合寫的[4]。不過這本書存在一些筆誤，恐怕往后也很難有機會修正再版了。

p-可除群則是另一個宏大世界的序幕：p-進霍奇理論（p-adic Hodge theory）。法爾廷斯對此也頗有貢獻，例如讓-馬克·方丹（Jean-Marc Fontaine）提出的晶體猜想就是他證明的[5]。不過到了今天，p-進霍奇理論的主角或許應該留給下一代人。

1994年，法爾廷斯回到了德國，擔任位于波恩的馬克斯·普朗克數學研究所所長，很快波恩就成為了全世界算術代數幾何的中心。在此期間，他見證了彼得·舒爾茨（Peter Scholze）這顆冉冉升起的新星。

直到 2018 年退休為止，法爾廷斯一直都很重視教學，他認為授課可以讓自己腳踏實地。至于退休后怎么辦，雖然沒有了正式的工作，但作為數學家，思考的工作可以一直進行下去。

參考文獻

[1]: https://link.springer.com/article/10.1007/BF01388432 "Endlichkeitss?tze für abelsche Variet?ten über Zahlk?rpern"

[2]: https://www.jstor.org/stable/2944318 "Siegel‘s Theorem in the Compact Case"

[3]: https://www.jstor.org/stable/2944319 "Diophantine Approximation on Abelian Varieties"

[4]: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-02632-8 "Degeneration of Abelian Varieties"

[5]: https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=1463696 "Crystalline cohomology and p-adic Galois-representations."

[6]: The Shaw Prize in Mathematical Sciences 2015 "https://youtu.be/4KyJ9MXurKU?si=7rm85HlN_GEhgayw"

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