六維相空間重構的兩階段卷積神經網絡

六維相空間重構的兩階段卷積神經網絡

Two-stage Convolutional Neural Network for six-dimensional phase space reconstruction

https://arxiv.org/pdf/2603.02733

在粒子加速器中，全面掌握六維（6D）束流相空間信息至關重要，但利用傳統束流診斷手段難以實現。我們開發了一種兩階段卷積神經網絡（CNN），僅需在具有色散的位置、通過不同相空間旋轉角度獲取的十六幅橫向 x?y 屏圖像，即可重建六維相空間。該模型使用基于 ASTRA 程序模擬的 KEK 加速器測試設施（ATF）注入器數據進行訓練。在 KEK-ATF 注入器的彎折軌道（chicane orbit）處，通過調節射頻電子槍的射頻相位和螺線管磁場，采集了真實空間圖像。基于這些數據，我們重建了陰極表面的六維相空間分布，并將其可視化為涵蓋所有坐標兩兩組合的 15 幅二維圖像。電子束在陰極處的時間寬度與空間展寬所得數值與 KEK-ATF 的實測結果一致。與現有的六維束流成像測量技術（如層析成像法）相比，該方法顯著縮短了測量時間并降低了所需計算資源，從而提供了一種更具實用性的六維相空間測量方案。

1 引言

束流質量通常由其橫向和縱向發射度來量化，在加速器中起著關鍵作用。在線性對撞機中，需要在相互作用點實現超低橫向發射度，以形成極其扁平的納米級束流，從而達到設計亮度[1]。同步輻射光源得益于發射度被推至衍射極限以下，這提高了空間相干性并顯著增強了光子束的光譜亮度[2]。對于自由電子激光（FEL），較大的發射度會導致束流發散角增大以及在波蕩器中的有效能散增加，從而降低FEL增益[3]。在醫療加速器設施中，例如用于質子治療腫瘤的回旋加速器，良好控制的束流形狀對于傳輸和聚焦70?250 MeV質子束至關重要[4]。

為滿足現代加速器設施（如上述所列）日益嚴苛的運行條件，需要具備評估和針對運行時束流條件調整光學參數的能力。因此，沿束流線重建束流相空間對于診斷束流質量具有極高價值。一般而言，僅依賴發射度是不夠的，因為它無法捕捉完整六維相空間分布中的復雜特征，如多峰結構、自由度之間的關聯等。獲取六維相空間分布能夠更全面地評估束流性能，并有助于深入理解導致束流質量退化的機制。然而，加速器內傳統的重建方法往往困難且耗時，需要進行破壞性測量、計算密集型的反投影，且通常僅能獲取有限數量的相空間維度信息。

為推斷橫向相空間，已開發出多種傳統束流診斷技術。這些技術包括胡椒瓶式或多狹縫發射度監測器[5, 6]、納米加工線掃描器[7]以及激光線掃描器[8]等。在標準實現中，此類診斷可重建投影的二維橫向相空間 ( x , x ′ ) 和 ( y , y ′ ) ，且在良好控制條件下，還可推斷耦合的四維橫向束流矩陣。然而，它們主要探測橫向動力學，無法直接獲取完整的六維相空間分布。因此，橫向與縱向自由度之間的關聯以及其他高維結構無法被唯一地捕捉。

在層析成像技術[9–17]中，相空間分布是在改變束流光學參數后進行推斷的。在此情況下，投影在不同旋轉角度下獲取，底層分布可通過反投影方法重建。然而，該方法需要對應大量投影角度的精確磁鐵設置，使得在缺乏專用層析成像裝置的機器上難以實施。這些方法可實現高達四維相空間的分析。

盡管傳統技術或層析重建在相空間評估中是有用的工具，但由于高維情況下復雜度顯著增加，關于完整六維相空間重建的研究僅有少數幾項。2018年在散裂中子源（SNS）束流測試設施（BTF）進行了一項實驗測量[18]。該實驗采用專用裝置，包含六個可移動狹縫，用于收集六維相空間中部分區域內粒子的信息。該測量極其耗時，需要32小時的穩定束流。研究結果表明，六維相空間中橫向與縱向自由度之間存在由庫侖力驅動的關聯。

近年來，機器學習在圖像分類、語音識別、數據挖掘等多個領域的重要性日益提升[19–23]。一些研究已采用這些神經網絡算法進行相空間重建[24–27]。其中，一項非常近期的研究[24]展示了使用生成式相空間重建（GPSR）技術實現六維相空間的完整重建，該技術采用后向可微分模擬并優化神經網絡參數以生成六維分布。在該框架中，后向可微分性使得初始猜測的六維束流分布能夠被迭代優化，以使其與實驗測量結果一致。該方法采用基于六維束流發射度負對數的損失函數，該值與分布的熵成正比。遵循最大熵層析成像（MENT）原理[28]，當重建分布的熵最大化時，其似然性也達到最大。該方法給出了符合預期的結果，并能夠重建六維相空間中許多復雜的平面。但該研究最大的局限性在于其完全依賴于后向可微分的粒子追蹤，而標準模擬軟件包中并不具備此功能，使用者必須修改現有軟件。此外，該方法需要利用可用的實驗圖像來計算多種最大化熵的解，并需要A100 NVIDIA GPU的高強度計算才能獲得六維分布。

我們的研究旨在為典型注入器束流線開發一種基于卷積神經網絡（CNN）[29–32]的AI模型，以解決從測量的二維實空間束流圖像生成完整六維相空間這一逆問題。通過連續的卷積運算，CNN作為輸入束流圖像的特征提取器，捕捉束流尺寸、整體形狀以及強度在圖像中分布方式等信息。該方法在實用意義上具有層析成像特性，因為它使用有限的機器掃描集合，此處通過調節射頻槍相位和螺線管磁場來實現，以提供多個具有信息的視角。然而，它不需要像傳統反投影層析成像那樣密集的0°–360°角度覆蓋或大量光學參數設置。此外，與GPSR類方法不同，CNN方法可使用現成的前向模擬代碼進行訓練以生成所需數據集。盡管訓練需要相當大的數據集（約幅圖像），但可在中等配置的GPU上完成。一旦模型訓練完成，重建過程可在不到一分鐘內完成。如此短的重建時間使得該模型對加速器設施極具吸引力，可在實驗束流時間內作為在線束流診斷工具使用。為克服機器學習模型訓練集有限的常見問題，我們采用傅里葉級數函數，以覆蓋大多數可能的束流分布。通過在訓練中提供多種多樣的束流形狀，我們提升了模型在訓練集之外進行外推的能力。此外，如有需要，可輸入高階傅里葉級數分布以進一步提升質量。我們證明，在訓練中包含多種束流形狀的情況下，該模型能夠學習束流的復雜性以重建六維相空間。

在本文中，我們提出了一種新開發的基于CNN的AI模型，并在合成束流和KEK-ATF實驗數據上評估其性能。第2節描述了層析成像所需的相空間旋轉原理，第3節詳細介紹了CNN模型，包括網絡架構和訓練過程。第4節展示了該模型在合成束流分布上的性能。第5節展示了該技術在KEK-ATF注入器束流線上的實驗驗證。最后，第6節和第7節總結了本研究，并討論了其對加速器領域的發展前景。

2 束流重建的相空間旋轉與測量原理

傳輸中束流的完整六維相空間重建，可通過觀測其相空間旋轉所引發的變化來實現。通常，重建工作主要集中于橫向維度，這是由于測量縱向維度的變化相對困難，且復雜非線性效應的存在可能使計算變得繁瑣甚至無法進行。本文證明，只要能在具有可觀測色散的區域測量束流的橫向（x?y）分布，僅利用常規束流線光學元件與射頻相位調制進行少量相空間旋轉，即可為本研究所采用的基于CNN的算法提供實現完整相空間重建所需的相空間旋轉。由射頻相位差異所引發的變化在色散區域是可觀測的，在本文的實驗設置中，該區域選定為彎折段（chicane）的中心位置。彎折段二極磁鐵使束流在x方向發生偏轉，從而產生一種非對稱效應：束流能散在x方向上表現為束流展寬，而邊緣聚焦效應則會在y方向上引起粒子軌跡的變化[33]。我們利用這些效應，來分別觀測通過掃描螺線管磁場與射頻相位所引入的橫向和縱向維度的變化。測量通過將熒光屏插入彎折段區域來進行，從而獲取關于束流形狀與強度的數據。為獲得驗證本技術所需的相空間旋轉，我們采用了螺線管磁場的變化以及相對于激光脈沖時序的射頻相位偏移，分別對橫向和縱向維度進行旋轉。下文將對這些旋轉進行簡要說明。

2.1 橫向相空間旋轉

螺線管磁場會在橫向方向產生旋轉，同時伴隨著聚焦作用以及對空間電荷效應的部分補償。由于螺線管同時在兩個橫向方向上進行聚焦，因此單一磁場足以在 x ? x ′ 和 y ? y ′平面內引起變化。由螺線管磁場變化引起的橫向相空間變化如圖 1 和圖 2 所示。僅由螺線管產生的聚焦在 x 和 y 維度上是對稱的，但在測量點處，由于 y 方向的邊緣聚焦效應以及 x 方向因偏轉引起的束流展寬，引入了不對稱性。圖 1 和圖 2 反映了在彎折段（chicane）測量區域內觀測到的相空間旋轉。

2.2 縱向相空間旋轉

縱向（t ? pz）相空間平面的旋轉是通過改變陰極處的射頻相位偏移來實現的。因此，處于不同射頻相位的束團會在射頻波的不同位置被加速，從而影響整體的束流能散。圖3展示了由射頻相位變化引起的 t ? pz 平面旋轉的示例。

3 用于六維相空間重建的CNN算法

我們采用一種新的CNN算法，利用第2節所述的原理來重建陰極處束流的六維相空間。CNN是一種專為處理和分析視覺數據而設計的深度學習模型[29, 34]。CNN保留了圖像的空間結構，使其能夠高效地捕捉局部模式和視覺特征。CNN的核心組件是卷積層，它在輸入圖像上應用小型濾波器（也稱為卷積核）。這些濾波器在圖像上滑動并執行數學運算，以檢測邊緣、角點、紋理和形狀等特征。隨著數據通過更深層的網絡，網絡會學習更復雜和抽象的表示，使其能夠識別物體、人臉或場景。該算法還包含池化層，用于減小圖像的空間尺寸，這有助于降低計算成本并提高對輸入中微小平移或畸變的魯棒性。最后，全連接層解釋提取的特征并產生分類或預測結果。我們的算法使用CNN處理束流圖像，但它不是提取特征，而是生成多幅圖像。通過束流測量獲得的實空間圖像，我們重建六維相空間中任意兩個變量的二維圖像。

我們使用常規的前向ASTRA[35]模擬來訓練網絡，無需后向可微分性或代碼修改。該模型在推理時也不求解最大熵優化問題；一旦訓練完成，它可在相對適中且負擔得起的GPU上，在遠少于一分鐘的時間內將測量到的彎折段x?y圖像映射到陰極六維相空間。該卷積架構提取彎折段測量點處的圖像特征，并學習它們與光陰極處上游六維相空間坐標之間的非線性關系，為高維束流重建提供了一條更具實用性的途徑。

先前關于相空間層析成像的研究[9–17]涉及將低維投影反投影到相空間分布。然而，在此類技術中，重建高度依賴于能夠覆蓋0°至360°角度范圍以描述相空間分布的投影數量。此外，這些基于傅里葉切片定理[36]和MENT原理的方法使用一維投影，這也減少了相空間的高維信息。相比之下，我們的CNN模型使用完整的二維束流圖像作為投影，保留了更豐富的相空間特征，且不需要覆蓋完整的角度范圍。

正如引言中所述，近期的GPSR研究[24]表明，基于機器學習的生成模型原則上可以從二維束流圖像重建完整的六維相空間，而無需對投影角度施加嚴格約束。然而，該方法存在兩個實際缺點。首先，它依賴于完全后向可微分的粒子追蹤，而標準加速器模擬軟件包中并不具備此功能，需要對現有代碼進行大量修改。其次，該優化計算密集：在六維分布上最大化基于MENT的目標函數需要在專用的A100 NVIDIA GPU上長時間運行，而這種硬件價格昂貴且不易獲取。

我們基于CNN的方法克服了這些局限性。下文將詳細描述該算法的細節、其訓練過程、模擬測試數據的重建以及KEK-ATF實驗數據的重建。

3.1 模型架構

我們的網絡包含三個主要部分：編碼器、Transformer（變換器）和解碼器，采用如圖4所示的兩個階段進行訓練。對于給定的射頻相位和螺線管磁場，編碼器[37]接收彎折段測量點處x?y圖像的單通道64×64直方圖，并使其通過三個帶有池化操作的卷積層[34]，逐步將圖像壓縮為具有128個通道的4×4特征圖。該特征圖可被視為一個小型網格，其中每個單元格包含128個學習得到的數值，用于概括圖像中的局部模式，如束流尺寸、位置和形狀。整體而言，該特征圖是對原始64×64圖像的緊湊表示。隨后，該特征圖被展平并通過兩個全連接層，這些層混合這些特征并將它們壓縮為一個150維的圖像隱向量，用于概括束流圖像。

并行地，用于生成彎折段圖像的射頻相位和螺線管磁場（即控制旋鈕）被視為一個二維輸入向量，并通過四個全連接層，生成一個150維的旋鈕隱向量。該旋鈕隱向量與圖像隱向量拼接，并通過兩個全連接層進行處理，中間使用ReLU[38]非線性激活函數，生成一個單一的150維“投影嵌入”。該嵌入是射頻-螺線管設置與彎折段處測量的x?y圖像的聯合表示。

對于數據集中的每個樣本，我們擁有：(i) 陰極處的分布，它定義了六維相空間的15個二維投影；(ii) 16組不同的射頻-螺線管參數對；以及 (iii) 彎折段處對應的16幅實空間束流圖像。使用上述編碼器-旋鈕融合方法，16幅彎折段圖像中的每一幅都被映射為一個150維的投影嵌入。隨后，這16個嵌入被輸入到Transformer中，該Transformer應用了三個具有六個頭的自注意力層。每個注意力頭學習如何在所有16個視角之間對信息進行加權和組合，最終的Transformer輸出被合并為一個維度為1280的單一“束流表示”向量。

在第一階段，我們每次使用單個彎折段x?y圖像以及固定的射頻和螺線管磁場來訓練模型。編碼器將每幅圖像和射頻-螺線管設置組合成一個特征向量，解碼器則利用Transformer[39]從中預測15個陰極相空間直方圖。此階段的目標是教會網絡基本的逆映射：當束流線配置固定時，陰極分布的變化如何在彎折段圖像中顯現。為了與第二階段保持一致，我們通過復制相同的單視角特征（附帶位置編碼）向Transformer輸入一個長度為16的序列，但輸入仍然僅代表一個測量視角。這種單視角預訓練為第二階段學習組合所有16個視角的信息之前提供了穩定的初始化。

在第二階段，我們切換到完整的多視角設置。對于每個樣本，Transformer接收全部16幅彎折段x?y圖像及其對應的射頻相位和螺線管磁場值，并被訓練以重建一個一致的陰極六維相空間分布（15個輸出直方圖）。其核心思想是：相同的陰極分布在射頻-螺線管設置改變時會產生不同的彎折段圖像。通過學習這16個視角如何與同一個底層束流相關聯，網絡可以組合它們的互補約束，減少單圖像反演的模糊性，從而實現更可靠的陰極分布恢復。

在Transformer之后，解碼器[37]將1280維的束流表示映射回物理空間。它首先將該向量擴展為一個粗糙的特征圖，然后應用三個上采樣卷積層來重建64×64圖像。最終層產生15個輸出通道，每個通道對應陰極處六維相空間分布的15個二維投影之一。這15個預測的直方圖使用結合泊松損失、平均絕對誤差和余弦相似度的復合損失函數與相應的模擬真實直方圖進行比較。

為了穩定性，Transformer模塊在第一階段被凍結，以便編碼器和解碼器首先學習一致的映射，而無需額外的非線性在每一步都發生變化。僅憑單幅x?y圖像，僅靠編碼器-解碼器無法合理地重建完整的六維相空間；在第一階段，Transformer通過其注意力層重新處理相同的編碼圖像，增加缺失的復雜度，并生成更豐富的特征表示，使得六維近似變得可學習。在第二階段，我們隨后解凍Transformer，并將其與編碼器和解碼器一起訓練，因為在此階段它必須學習如何將真正不同的x?y圖像（來自不同的射頻-螺線管設置）組合成單一一致的六維解。

3.2 損失函數

3.3 訓練過程

為了優化模型，我們在一定數量的訓練周期（epochs）內檢查最低的驗證損失。模型將來自整個數據集的樣本分成稱為小批量（mini-batches）[44] 的小組，在一個更新步驟中處理它們，并使用 Adam 優化器 [45]，該優化器在訓練期間提供學習率 [46]。小批量大小和學習率的選擇至關重要，因為它極大地影響模型的整體性能，即模型是否能從訓練樣本中正確學習以及能否在訓練集之外的數據集上表現良好。

圖 8 展示了第二階段（Stage 2）每個訓練輪次（epoch）損失函數的變化過程，其中藍色、橙色、綠色和紅色分別代表批量大小（batch size）為 8、16、24 和 32。在此階段，與第一階段相比，數據集數量較少，因此我們檢查了較低批量大小下的性能。對于像 8 或 16 這樣較小的批量，存在梯度噪聲且收斂緩慢，而在較大的批量（如 24 和 32）上波動減小。最終選擇了 32 的批量大小。第 5 輪之后出現的突增將在后文討論第二階段學習率的段落中解釋。需要注意的是，我們是在優化了第一階段的批量大小和學習率之后，才進行第二階段的優化。一旦確定了批量大小，我們就開始調整學習率。在第一階段，學習過程由編碼器和解碼器模塊完成，而如前所述，Transformer 保持凍結狀態。

3.4 交叉驗證性能

交叉驗證[47, 48]是一種用于準確評估和預測機器學習模型性能并穩定模型泛化能力的技術。它涉及將有限的可用數據反復劃分為"訓練集"和"測試集"并重復使用。這可以防止過擬合，并有助于創建不受數據偏差影響的可靠模型。在此，我們采用五折交叉驗證，即將數據分為五部分，在每次運行中，使用其中四折進行訓練，剩余一折用于驗證；最終性能則取五次運行的平均值。在進行交叉驗證之前，我們首先運行了一次單獨的訓練，以確定每個階段的最優批量大小和學習率。隨后，我們使用各自的數據集（其規模不同）分別對第一階段和第二階段進行交叉驗證，同時保持各階段特定的最優超參數固定不變。

圖 11 展示了第一階段（Stage-1）訓練中 5 折交叉驗證的損失函數演變過程。實線表示訓練損失，虛線表示驗證損失，每一折的訓練-驗證對采用相同的顏色繪制：藍色、橙色、綠色、紅色和紫色分別代表第 1 折、第 2 折、第 3 折、第 4 折和第 5 折。各折之間觀察到一些差異，這源于每一折的數據子集不同，從而導致模型性能有所變化。圖 12 以同樣的方式總結了第二階段的 5 折性能。在此，第 2 折和第 3 折顯示出的訓練損失和驗證損失差異較其他折更大，而第 5 折顯示的差異最小。然而，這些差異均保持在較小的損失值范圍內。為了從我們的兩階段模型中獲得一致的結果，我們對所有折的性能進行了平均。

4 基于合成分布的性能評估

為評估我們構建的CNN模型的性能，我們采用兩種方法進行了測試。一種方法使用模擬數據，另一種方法則采用來自KEK-ATF的實驗數據。

在基于模擬的測試中，我們將源自陰極處模擬束流分布、并通過不同射頻-螺線管設置獲得的16幅實空間分布輸入CNN。隨后，我們將重建得到的陰極處分布與提供給模擬的原始分布進行比較。

在實驗數據測試中，雖然陰極上的完整相空間分布是未知的，但可以根據照射光陰極的激光的形狀和時間分布，推斷出所產生的束流的 x ? y 分布和隨時間變化的分布。將這些推斷出的分布與重建的相空間分布進行了比較。此外，由于動量空間分布是由陰極的熱分布決定的，因此對其有效性進行了評估。

4.1 基于模擬測試集的驗證

需要注意的是，訓練僅使用傅里葉圖像進行，且“彗星”分布被排除在訓練數據之外。因此，模型對這些形狀沒有先驗知識，成功的重建表明其能夠外推到訓練所提供的分布之外。

5 實驗驗證

在模型經過充分的合成束流分布訓練后，我們接下來將其應用于實際加速器，以展示其在真實束流數據上的性能。作為一個合適的測試案例，我們選擇了位于筑波（Tsukuba）校區的 KEK-ATF 注入器。與該算法的需求一致，ATF 注入器在彎折段（chicane）內包含一個熒光屏，從而允許通過改變射頻（RF）和螺線管參數來觀察束流展寬的變化，進而觀察縱向相空間分布所 induced 的變化。憑借相對簡單的裝置，我們能夠在實驗上證明 CNN 技術的可行性和有效性。

5.1 KEK-ATF 注入器

與本研究相關的ATF束流線部分如圖17的示意圖所示。其始于一臺配備3.6單元常溫腔的2856 MHz S波段射頻電子槍，該電子槍通過紫外激光照射光陰極產生電子束。射頻電子槍的峰值加速梯度約為65 MV/m，在其出口處產生能量約為6 MeV的電子束團。激光脈沖波長為266 nm，重復頻率為3.125 Hz [52]。電子束離開射頻槍后，立即通過一個螺線管、一段漂移空間，最后進入由四個二極磁鐵組成的彎折段（chicane）區域，每個二極磁鐵在水平面內使束流偏轉22.7°，從而在x方向產生約80 mm的凈軌道偏移。

在KEK-ATF設施的彎折段區域，通過改變射頻電子槍相位和螺線管磁場，測量了三組各16幅的x?y束流圖像。在KEK-ATF，激光光斑尺寸通過一個由兩個凸透鏡組成的望遠鏡式光束擴束系統進行調節，其中輸入激光光斑尺寸會根據系統焦距的變化而擴大或縮小。焦距的改變通過移動下游的凸透鏡（稱為變焦透鏡）來實現，同時保持上游透鏡固定。在我們的實驗過程中，我們通過調整變焦透鏡位置至三個設置：?1000 μm、?1300 μm和?1150 μm，來改變光學系統，從而在陰極表面產生三種不同的激光光斑尺寸。隨后，使用CCD相機測量激光光斑尺寸，并使用位于彎折段中心的熒光屏監測器測量所得圖像。

射頻相位的調制會改變束流發射過程中陰極表面的電場。受肖特基效應（即電場增強時會降低有效陰極功函數）影響，改變射頻相位會導致發射電流（束團電荷量）發生變化。因此，在不同射頻相位值下采集的束流圖像所測得的束流電流會有所不同。

5.2 實驗結果

6 六維相空間重建總結

我們展示了一種利用兩階段CNN模型進行完整六維相空間重建的新穎方法。該方法僅需屏幕上十六幅實空間束流圖像，這些圖像可以很容易地從加速器設施中獲得。在我們的案例中，在KEK-ATF進行測量這些束流圖像的實驗僅耗時五分鐘。因此，未來將模型與束流監測器連接起來，將使其能夠自動采集圖像并實時重建六維相空間。通常，該模型旨在分兩步解決束流動力學問題：第一步，在給定束流線配置（螺線管和射頻相位保持恒定）的情況下，學習上游六維束流的變化及其對測量點處投影二維束流的影響；第二步，理解恒定的六維束流在不同射頻-螺線管配置下如何演化為不同的二維投影圖像。

采用這種兩步策略為模型求解六維相空間分布提供了必要的復雜性。我們已經看到，簡單地使用單一階段并增加神經網絡層數或神經元數量是不夠的，因為每個階段的機制是不同的。盡管第二階段用于組合實空間圖像以獲取相空間，但如果在沒有第一階段的情況下使用它，CNN通常會通過組合所有圖像產生一個平均估計。因此，第一階段的訓練使模型克服了這種跳過束流分布中重要細節的傾向。因此，需要這兩個階段才能使CNN具備處理復雜束流結構的能力。

CNN的使用幫助我們作為特征圖從束流圖像中提取信息，如束流形狀、尺寸、位置等。當我們將圖像隱變量與射頻和螺線管設置的隱變量相結合時，我們給予后者兩倍的權重。這反映了射頻-螺線管主要負責在橫向和縱向方向上旋轉相空間這一事實。因此，在其他加速器設施中，如果調節參數不同，例如四極磁鐵或橫向偏轉腔，它們可以遵循相同的規則來強化這些負責旋轉相空間的組件的效應。在本工作中，我們是在由傅里葉級數形狀構建的合成陰極分布上進行訓練的，但在其他設施中，相同的框架可以改為在沿束流線其他位置的模擬圖像上進行訓練。

然而，上述樣本中的其他變量顯示出更好的一致性，其值分別為 0.88–1.10。鑒于目前處于開發的早期階段，該模型在重建束流形狀方面總體上表現出一致的性能。本研究的一個重要方面是我們不需要可微分模擬，因此該方法可以直接與標準加速器代碼一起使用。本研究的所有訓練均在單塊 NVIDIA RTX A400 GPU 上進行，該 GPU 易于獲取且價格適中。

作為一種數據驅動的方法，該模型存在一些局限性，也有幾種提高其能力和準確性的途徑。CNN 僅能在訓練數據中所代表的束流條件、機器設置和傅里葉級數階數范圍內可靠地執行，因此其預測在這些范圍之外可能會下降。此外，盡管訓練和驗證損失參數表明不存在過擬合，但該模型仍然容易受到待重建相空間參數覆蓋不完整的影響，并且可能會陷入一組“偏好”值。此外，此處展示的超參數掃描僅限于狹窄的范圍，通過更廣泛的掃描可能會實現進一步的改進。然而，該模型展示了其在訓練之外的測試束流形狀上進行外推的能力。因此，如果我們在傅里葉模式中納入更高階的頻率并在超參數上增加更多變化，可以預期未來的重建性能會有所提高。

7 結論

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.02733