數學思維的底層邏輯是什么？終于有本書拆解清楚了！

數學思維是一種強大的認知工具，它不僅幫助我們解決復雜的數學問題，還為我們提供了一種系統化、邏輯化的思考方式。

數學思維并非孤立存在的，它與多種思維方式密切相關，尤其是分析思維、綜合思維、系統性思維、批判性思維和創造性思維。

該如何培養這5種思維？《人人用得上的數學》用通俗的語言和好玩的例子帶你徜徉數學世界！

來源 | 《人人都用得上的數學：生活和工作中的數學思維》

作者 | [美] 阿爾伯特·拉瑟福德

譯者 | 談天星

01

分析思維與綜合思維

分析思維是指憑借細致、敏銳的思考，來解決問題、分析數據、記憶信息并加以運用的認知活動。簡單來說，分析思維能力就是解決問題的能力。這些特質和能力可以引導人們以合理的方式尋求問題的最優解。

我們在分析事物時，會將其拆解為易于理解的較小部分，逐一進行評估與分析。但在拆解的過程中，我們極易忽略這些部分是如何相互關聯，并在具體情境中發揮作用的。最終，我們會陷入“分析癱瘓”。倘若其相互作用并不明顯，我們便難以洞悉。

而綜合思維就是幫助我們理解這些相互作用及協同關系的重要工具。

綜合不單是指將事物拆解研究后，再重新組合起來。如果說分析思維讓我們得以認識情境中的不同組成部分，那么綜合思維則有助于我們理解這些部分是如何協同工作的。再者，分析思維可以幫助我們將事物分解為最基本的組成部分，而綜合思維則幫助我們探尋這些組成部分的模式。也就是說，分析思維的作用在于辨識差異，而綜合思維的作用則是發現共性，兩者分別代表了特殊化和一般化。在數學思維中，它們都是不可或缺的。

綜合思維比分析思維更加復雜，因為事物間的相互作用往往更加難以捉摸。綜合思維是動態的，而分析思維則是靜態的。盡管兩者都能幫助我們發現模式、主題與共性，但綜合思維表現得更為迅速與直觀，因為它本就聚焦于此，而分析思維則側重于發現差異。兩種思維方式各有局限，卻也相輔相成。

關于綜合思維，以汽車廣告為例，“道奇”汽車品牌為推廣其卡車展開了長期的廣告活動。多年來，其所屬公司通過分析消費者數據及偏好，開發產品并制定營銷策略。其廣告活動參考了人口特征、生活方式及消費心態，綜合了多方面的主題，既突出卡車的強勁動力和堅固車身，又強調“道奇”作為“美國制造”和“美國企業”的身份，還展示了如何通過按鈕操作和座椅調整，將卡車變身為適合家庭使用的“旅行車”。綜合一切元素，只為打動你購買道奇卡車，無論你身處何種人生階段。在此之前，這些綜合起來的部分都已經過嚴密分析。

02

系統性思維

系統性思維是用來理解復雜問題與情境的簡單技巧。我們可以通過這種思維方式對具體情境中的多個元素進行統籌管理而非單一管理。

系統性思維、系統思維和系統化思維各不相同，含義不一。系統思維關注的是事物間的相互作用，系統化思維是指有條理地進行思考，而系統性思維則是一種聚焦于整體的簡便技巧。系統性思維的基本理念在于，一切事物都與其周遭事物相互關聯、彼此影響。當我們以系統性思維解決問題時，便不再孤立地應對每個部分，而是將所有部分視作一個整體，進行統籌管理。在關注各元素本身的同時，我們還需考慮其相互作用。

系統性思維遵循以下4個步驟。

1. 盡可能全面地列出組成要素，比如問題、解決方案、機會、需求、預期結果及想法（即分析思維）。

2. 將共同要素歸為一組，并指出每組要素間的相似之處。例如，問題與需求可被歸為一類，而預期結果、想法和機會則可另成一組（即綜合思維）。

3. 找出各組描述中重復出現的主題。

4. 遵循“組成要素→次主題→共同主題”的流程。

這個過程可以提升你應對一切情境的洞察力，你或許會感嘆早該用系統性思維思考了。

初次遇到棘手的情境時，你很難識別其中的模式與主題。但隨著實踐的積累與技能的精進，你便能輕松地識別它們。運用系統性思維，不僅需要掌握知識與技能，還需熟悉各種模式與主題，從而具備相應的識別力。隨著識別出既定主題與模式的能力逐漸根植于我們的腦海中，我們就能不假思索地識別出它們。也就是說，我們并未領會它們在具體情境中的含義，只是基于慣性做出本能的反應。由此可見，當我們有意識地尋找并理解在情境中重復出現的模式與主題時，便可不斷進步，對數學思維產生更深刻的洞察力。

系統性思維結合了分析思維與綜合思維。在該思維過程中，我們需要列出自己所能想到的一切組成要素，通過分析尋找其共性。相比之下，單一的分析思維只需列出少量要素，通過排序選出最關鍵的一個，并將其他要素全部舍棄，以確保內容的可控性，并減輕工作量。而在系統性思維模式下展開分析思維，則需列出諸多要素，并提供最精確、最具代表性的模式。

如前文所述，系統性思維的第一步是分析——詳盡列出組成要素；第二步是綜合——找出所列要素中的共同主題與模式。

03

批判性思維

批判性思維指的是分析事實、構建想法、梳理思路、辯護觀點、比較事物、推敲結論、驗證（推翻）論點、解決問題。該思維模式基于邏輯解決問題，通過推理尋找答案。提出猜想時，批判性思維是論證的關鍵。

但并非所有情境或決策都可采用批判性思維。以戀愛為例，在決定約會對象或結婚對象時，我們往往依賴直覺與情感，而非批判與邏輯。個人喜好亦是如此。比如我很喜歡霍華德·錢德勒·克里斯蒂（Howard Chandler Christy）的征兵海報，卻說不出緣由，畢竟我還喜歡他的其他作品，以及他所打造的“克里斯蒂女孩”。這種喜好并非后天習得，它是自然而然的。當然，生活中確實有很多重要決策需要我們深思熟慮，比如選擇大學，決定上大學還是念職校，或者考慮是否接受一份遠在異地的工作。

批判性思維之所以重要，是因為它能讓我們在認清自身情感的同時不受其控制。情感的干擾會讓人誤以為自己做出了正確決定。你可曾聽說，目擊者的證詞通常并不可靠？原因有很多，比如外界的干擾，比如目擊者自認為看清了嫌疑人，比如目睹暴力行徑造成的心理創傷。辯護律師及檢察官都很清楚，目擊證詞往往是眾多證據中最不可信的，因此必須輔以間接證據，如法醫證據，才可確鑿認定嫌疑人的罪行。

數學思維與批判性思維的區別在于，前者側重于對假設的證明，得出明確的結論（無論真假），后者依賴于觀點。運用批判性思維時，人們并非根據解決方案正確與否做出決策。批判性思維者獲取信息后，會進行分析、解讀，并結合自己的世界觀得出結論，進而形成對研究主題的個人觀點。數學思維者則會將信息拆解開來，逐步推導出廣義的答案，再以模板和公式證實或推翻這一答案。

批判性思維專家羅伊·范登·布林克–布德根（Roy van den Brink-Budgen）博士指出，批判性思維者具有4種特質：堅持不懈、嚴謹細致、思維開闊、勤勉努力。此外，美國伊利諾伊大學榮譽退休教授羅伯特·恩尼斯（Robert Ennis）博士也總結了批判性思維者所應具備的一系列技能：

• 判斷信息來源是否可靠；

• 辨明結論、理由與假設；

• 判別論證優劣，尤其是理由、假設及支撐論據；

• 確認并維護立場；

• 提出合宜的澄清性問題；

• 建立假設或設計實驗，并加以評估；

• 根據語境定義術語；y 保持開放的心態；

• 建立充分的認知；

• 得出可靠的結論，但保持審慎的態度。

這些特質或技能是可以傳授或習得的。批判性思維與分析思維一樣，并非與生俱來，而是通過教育與實踐培養所得。

假設有一位女性身患罕見病癥，危在旦夕。醫生提出，有一種鐳制劑或許能救她一命。此藥由同城的一位藥劑師近期研發所得，制作成本十分高昂，而定價更是成本的10倍。該藥劑師以200美元購得原料，以2000美元出售每副藥劑。

患者的丈夫海因茨四處籌錢，只集得1000美元，也就是藥價的一半。他告訴藥劑師，自己的妻子生命垂危，懇請對方降低價格或允許延期付款。但藥劑師表示：“不行。我既然開發了新藥，自然是要從中獲利的?！苯^望之余，海因茨溜進實驗室，為妻子偷得藥物。那么，海因茨的做法是否合理？為什么？以下信息和問題或許能幫你厘清思路。

1. “哄抬物價”已成為近期新聞中的高頻詞，“大型藥企”的相關案例更是屢見不鮮，比如臭名昭著的馬丁·什克雷利（Martin Shkreli），再如瓦倫特制藥公司（于2018年更名為博士康公司）的丑聞。

2. 人的生命在多大程度上重于其他因素？你或許會同情海因茨夫婦，但他們終究無權支配該藥物或盜取他人財產。

這些問題只是供你應對這一兩難之境時作為參考。別忘了，批判性思維無關對錯。

04

創造性思維

創造性思維是指將本無關聯的事物或想法聯系起來，或者建立新的聯系。當你為解決難題而憂心時，創造性思維不僅能派上用場，說不定還能讓你免于焦慮。我曾經帶著兩個孩子去迪士尼樂園，那時他們還小，可以盡情玩耍，但還記不住父母的名字和電話號碼。以防萬一，我給他們準備了印有我的聯系方式的文身貼。幸而我們并未走散，不過，在那段為期一周的旅程中，不少家長都來向我打聽哪里可以買到這種貼紙。

數學思維強調邏輯，而創造性思維則依賴于想象力，可以帶來源源不斷的靈感與方案。它們各有特色，卻也正如我們先前提到的其他思維方式，是相輔相成的。數學思維者時常會遭遇瓶頸，陷入僵局。為取得進展，他們會提出猜想，而后求證，實現創造性的飛躍。我們將在下一章深入了解這一關聯。

數學思維是收斂的。它會將問題拆解為各種觀點、答案或解決方案，以供進一步分析與運用。相比之下，創造性思維則是發散的。它從某一描述出發，向多個方向延伸，以尋求多種解決方案。

收斂的特點在于強調邏輯推理，注重得出一個明確、唯一的答案，傾向于深入探究問題（縱向思維）。而發散的特點在于強調想象力探索多樣化的可能性與解決方案（橫向思維）。數學思維以隧道視野辨別命題的真假；而創造性思維則需廣泛考慮一切可能的選項，包括那些看似無關的選項。

創造性思維自有其益處。該思維過程還可以通過多種方式改善你的健康。一方面，它能緩解壓力。你可以通過各種創造性的活動來釋放生活中的壓力，并根據自己的興趣加以調整。而緩解壓力則有助于預防心臟病、阿爾茨海默病和抑郁癥。另一方面，創造性思維還能激活大腦，保護并促進神經元的增長，從而維護中樞神經系統的健康。在經歷重大疾病、傷痛或壓力（如分手、離異）后進行創造性活動，如手工制作、益智游戲，甚至是聽音樂，都有助于恢復身心健康。

05

要點回顧

• 數學思維是一種認知工具，它與如下5種概念息息相關：分析思維、綜合思維、系統性思維、批判性思維、創造性思維。

• 分析思維有助于揭示情境中各組成部分間的差異。綜合思維則有助于識別主題間的共性，以及組成要素的模式。

• 綜合思維、系統性思維、批判性思維、創造性思維皆與分析思維相輔相成（單獨或與其他概念相結合），為展開分析思維提供了廣泛的選擇。

• 創造性思維是指將本不相干的事物或概念聯系起來，或是構建新的可能。

《人人都用得上的數學：生活和工作中的數學思維》

作者：[美] 阿爾伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）

譯者：談天星

文科生也能掌握的數學思維入門寶典！

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3.文科生也能輕松掌握：本書不講公式，生動的比喻和案例讓數學思維變得直觀有趣，幫你從“思維混亂”走向“頭腦清晰”。