Dirac 場的正則量子化——反對稱的世界及其應用 | 量子場論第七講

導語

集智學園聯(lián)合新加坡國立大學賈治安老師共同開設了，幫助復雜系統(tǒng)跨學科領域?qū)W習者、研究者系統(tǒng)掌握量子場論的核心概念和基本方法，以及其在高能物理和凝聚態(tài)物理中的典型應用。同時，課程還將探討量子場論的前沿與跨學科課題，例如量子反常、拓撲場論和廣義對稱性，以及量子場論在神經(jīng)網(wǎng)絡、量子計算等方向的應用，來拓展學術視野。

作為系列課程的第八講，賈治安老師將以「Dirac 場的正則量子化——反對稱的世界及其應用」為題，本次分享目標為掌握費米子場的正則量子化方法，理解反對易關系的物理必然性，建立旋量場的粒子詮釋，為QED和標準模型奠定基礎。正式分享將于4月15日（周三）19:00-21:00進行。

主題：Dirac 場的正則量子化——反對稱的世界及其應用

課程目標

掌握費米子場的正則量子化方法，理解反對易關系的物理必然性，建立旋量場的粒子詮釋，為QED和標準模型奠定基礎。

課程要點

1. 從相對論波動方程到 Dirac 方程

• Klein-Gordon 方程的負能問題回顧

• 尋找一階時間導數(shù)方程的動機

• Dirac 方程：

• 自由粒子解與能量譜

2. γ 矩陣與 Clifford 代數(shù)

• 反對易關系：

• Dirac 表示與 Weyl（手征）表示

• 的性質(zhì)

• 常用γ矩陣恒等式：

• • Gordon 恒等式

3. 旋量的洛倫茲變換性質(zhì)

• 旋量變換：

• 變換矩陣：

• 定義：

• Weyl 旋量： 左手分量與右手分量

4. Dirac Lagrangian 與共軛場

• Lagrangian：

• Dirac 共軛：

• 物理動機： 為何需要 γ0 來構造洛倫茲標量

• 運動方程的推導

5. 共軛動量與反對易關系

• 共軛動量：

• 為何需要反對易關系：

• • 對易關系導致負范數(shù)態(tài)

  • Pauli 不相容原理的要求

  • 自旋-統(tǒng)計定理

• 等時反對易關系：

6. 平面波解與旋量基

• 正能解（粒子）： ，s = 1, 2（自旋）

• 負能解（反粒子）：

• 旋量的正交歸一化：

• 完備性關系：

7. 場的模式展開

• 算符展開：

• 算符物理意義：

• • ：湮滅電子（或費米子）

  • ：湮滅正電子（或反費米子）

• 反對易關系：

8. 粒子與反粒子詮釋

• Dirac 海的圖像與空穴理論

• 現(xiàn)代詮釋： 創(chuàng)造反粒子

• 電荷共軛對稱性

• CPT 定理的預告

9. Hamiltonian 與守恒量

• 正規(guī)序 Hamiltonian：

• 電荷算符（U(1)對稱性）：

• 自旋算符（角動量）

10. Dirac 傳播子

• 定義：

• 動量空間：

• Feynman斜杠記號：

11. 手征性與質(zhì)量項

• 左手投影與右手投影：

• Weyl 費米子：

• 質(zhì)量項打破手征對稱性

• 在標注模型中的應用

12. 拓展：費米量子計算、費米量子碼

練習題

1. 驗證 在 Dirac 表示中成立。

2. 計算 和

3. 從反對易關系推導產(chǎn)生湮滅算符的反對易關系。

4. 驗證旋量完備性：

5. 證明 Dirac 傳播子滿足

1. 討論無質(zhì)量 Dirac方程的手征對稱性

本講與后續(xù)內(nèi)容的聯(lián)系

Dirac 場是 QED 和弱電統(tǒng)一理論的基礎。旋量技巧、γ 矩陣代數(shù)和傳播子將在散射振幅計算中頻繁使用。手征性概念是理解標準模型非對稱性結構的關鍵。

系列課程推薦教材

• Tom Lancaster & Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur(Oxford University Press, 2014).

• Anthony Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell (Princeton University Press,2010).

• Michael E. Peskin & Daniel V. Schroeder., An Introduction to Quantum Field Theory(Addison-Wesley, 1995).

• Matthew D. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model (CambridgeUniversity Press, 2013).

• Mark Srednicki, Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 2007).

• Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vols. I, II, III (Cambridge UniversityPress, 1995–2000).

• Lewis H. Ryder, Quantum Field Theory, 2nd ed. (Cambridge University Press, 1sted, 1996).

• Pierre Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd ed. (Avalon Publishing 1997).

課程信息

課程主題：Dirac 場的正則量子化——反對稱的世界及其應用

課程時間：2026年4月15日（周三） 19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內(nèi)通知）；集智學園網(wǎng)站錄播（3個工作日內(nèi)上線）

課程主講人

賈治安（知乎：@也疏寒），個人網(wǎng)站：tqfter.github.io，新加坡國立大學Research Fellow，即將回國在高校從事科研工作。主要從事數(shù)學物理與理論物理領域研究，聚焦量子代數(shù)在量子場論、量子物態(tài)、量子信息與量子計算中的具體應用。近年研究重點為拓撲場論及其晶格實現(xiàn)（拓撲序），并圍繞場論與晶格框架下的廣義對稱性開展研究。同時，賈老師對高能物理、量子物質(zhì)與量子信息科學的交叉和融合抱有濃厚興趣，尤其致力于運用量子信息方法研究量子場論與凝聚態(tài)體系。

課程適用對象

1. 對高等數(shù)學和量子力學有一定了解的本科生、研究生、高校教師研究員與愛好者

2. 對量子世界的復雜性感興趣的跨學科學習者

3. 希望在復雜科學領域遷移應用量子場論內(nèi)容的研究者

4. 對邏輯、抽象思維和系統(tǒng)思維有興趣的公眾學習者

報名須知

1. 課程形式：騰訊會議直播，集智學園網(wǎng)站錄播。本系列課程僅首節(jié)免費直播。

2. 課程周期：2026年2月11日-2026年5月6日，每周三晚19點-21點進行。

3. 課程定價：999元。

課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5681?from=wechat

付費流程：

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程共創(chuàng)任務：課程字幕

為鼓勵學員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識傳播成果，并構建課程知識共建社群。為此，我們特別設立激勵機制，讓您的學習之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結束后，助教會于課程群內(nèi)發(fā)布字幕共創(chuàng)任務。學員通過參與這些任務，不僅能加深對內(nèi)容的理解，還可獲得積分獎勵。積分可兌換其他讀書會課程或?qū)嵨铼勂罚δ某掷m(xù)成長。

后記

跨學科集智創(chuàng)新基金：

招募頂尖講師，生產(chǎn)高質(zhì)內(nèi)容

集智學園始終在圍繞復雜科學、人工智能搭建知識體系。我們深知，唯有根深方能葉茂。因此，在追逐前沿的同時，在最近3個月中，我們推出了拓撲學、線性代數(shù)、統(tǒng)計物理等硬核基礎課程，為社區(qū)學習者夯實關鍵根基。

量子場論是前沿，也是核心基礎，它代表人類對自然界基本規(guī)律理解的最深刻理論。其中重整化群、費曼圖等在復雜系統(tǒng)、人工智能研究中的重要方法，其實也都來源于此。

但是要講好量子場論門檻極高，既懂其物理深意又能關聯(lián)復雜系統(tǒng)的學者鳳毛麟角；且作為一門超硬核的基礎理論，其商業(yè)回報的不確定性往往讓普通課程開發(fā)望而卻步。

但難做的事，往往才更有價值。為了填補這塊關鍵的認知拼圖，集智學園創(chuàng)始人張江教授特別設立了“”，來懸賞招募優(yōu)秀講師，確保社區(qū)成員獲得高質(zhì)量內(nèi)容。經(jīng)過一系列的試講與篩選，我們與新加坡國立大學Research Fellow賈治安老師達成合作，讓這門來之不易的課程得以誕生。